线段树

一 概述

线段树，类似区间树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn)。

线段树的每个节点表示一个区间，子节点则分别表示父节点的左右半区间，例如父亲的区间是[a,b]，那么(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]。

二 从一个例子理解线段树

下面我们从一个经典的例子来了解线段树，问题描述如下:从数组arr[0…n-1]中查找某个数组某个区间内的最小值，其中数组大小固定，但是数组中的元素的值可以随时更新。

对这个问题一个简单的解法是：遍历数组区间找到最小值，时间复杂度是O(n),额外的空间复杂度O(1)。当数据量特别大，而查询操作很频繁的时候，耗时可能会不满足需求。

另一种解法：使用一个二维数组来保存提前计算好的区间[i,j]内的最小值，那么预处理时间为O(n^2)，查询耗时O(1), 但是需要额外的O(n^2)空间，当数据量很大时，这个空间消耗是庞大的，而且当改变了数组中的某一个值时，更新二维数组中的最小值也很麻烦。

我们可以用线段树来解决这个问题：预处理耗时O(n)，查询、更新操作O(logn)，需要额外的空间O(n)。根据这个问题我们构造如下的二叉树

叶子节点是原始组数arr中的元素
非叶子节点代表它的所有子孙叶子节点所在区间的最小值
例如对于数组[2, 5, 1, 4, 9, 3]可以构造如下的二叉树（背景为白色表示叶子节点，非叶子节点的值是其对应数组区间内的最小值，例如根节点表示数组区间arr[0…5]内的最小值是1）：

由于线段树的父节点区间是平均分割到左右子树，因此线段树是完全二叉树，对于包含n个叶子节点的完全二叉树，它一定有n-1个非叶节点，总共2n-1个节点，因此存储线段是需要的空间复杂度是O(n)。那么线段树的操作：创建线段树、查询、节点更新 是如何运作的呢（以下所有代码都是针对求区间最小值问题）？

2.1 创建线段树

对于线段树我们可以选择和普通二叉树一样的链式结构。由于线段树是完全二叉树，我们也可以用数组来存储，下面的讨论及代码都是数组来存储线段树，节点结构如下（注意到用数组存储时，有效空间为2n-1,实际空间确不止这么多，比如上面的线段树中叶子节点1、3虽然没有左右子树，但是的确占用了数组空间，实际空间是满二叉树的节点数目： 2 * 2 ^{\lceil \log_2{n} \rceil} - 1， \lceil \log_2{n} \rceil 是树的高度，但是这个空间复杂度也是O(n)的 ）。

struct SegTreeNode
{
　　int val;
}；

定义包含n个节点的线段树 SegTreeNode segTree[n]，segTree[0]表示根节点。那么对于节点segTree[i]，它的左孩子是segTree[2*i+1],右孩子是segTree[2*i+2]。

我们可以从根节点开始，平分区间，递归的创建线段树，线段树的创建函数如下：

 const int MAXNUM = 1000;
 struct SegTreeNode
{
     int val;
 }segTree[MAXNUM];//定义线段树

 /*
功能：构建线段树
root：当前线段树的根节点下标
arr: 用来构造线段树的数组
istart：数组的起始位置
iend：数组的结束位置
*/
void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
{
   if(istart == iend)//叶子节点
      segTree[root].val = arr[istart];
  else
   {
       int mid = (istart + iend) / 2;
        build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树
      build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树
       //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值
        segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
     }
 }

2.2 查询线段树

已经构建好了线段树，那么怎样在它上面超找某个区间的最小值呢？查询的思想是选出一些区间，使他们相连后恰好涵盖整个查询区间，因此线段树适合解决“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”的问题。代码如下，具体见代码解释

这里写代码片

举例说明（对照上面的二叉树）：

1、当我们要查询区间[0,2]的最小值时，从根节点开始，要分别查询左右子树，查询左子树时节点区间[0,2]包含在查询区间[0,2]内，返回当前节点的值1，查询右子树时，节点区间[3,5]和查询区间[0,2]没有交集，返回正无穷INFINITE，查询结果取两子树查询结果的较小值1，因此结果是1.

2、查询区间[0,3]时，从根节点开始，查询左子树的节点区间[0,2]包含在区间[0,3]内，返回当前节点的值1；查询右子树时，继续递归查询右子树的左右子树，查询到非叶节点4时，又要继续递归查询：叶子节点4的节点区间[3,3]包含在查询区间[0,3]内，返回4，叶子节点9的节点区间[4,4]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点4返回的是min(4, INFINITE) = 4，叶子节点3的节点区间[5,5]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点3返回min(4, INFINITE) = 4, 因此根节点返回 min(1,4) = 1。

2.3单节点更新

单节点更新是指只更新线段树的某个叶子节点的值，但是更新叶子节点会对其父节点的值产生影响，因此更新子节点后，要回溯更新其父节点的值。

1 /*
2 功能：更新线段树中某个叶子节点的值
3 root：当前线段树的根节点下标
4 [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
5 index: 待更新节点在原始数组arr中的下标
6 addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）
7 */
8 void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal)
9 {
10 if(nstart == nend)
11 {
12 if(index == nstart)//找到了相应的节点，更新之
13 segTree[root].val += addVal;
14 return;
15 }
16 int mid = (nstart + nend) / 2;
17 if(index <= mid)//在左子树中更新
18 updateOne(root*2+1, nstart, mid, index, addVal);
19 else updateOne(root*2+2, mid+1, nend, index, addVal);//在右子树中更新
20 //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
21 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
22 }
比如我们要更新叶子节点4（addVal = 6）,更新后值变为10，那么其父节点的值从4变为9，非叶结点3的值更新后不变，根节点更新后也不变。

2.4 区间更新

区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，因为涉及到的叶子节点不止一个，而叶子节点会影响其相应的非叶父节点，那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多，如果一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，例如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时，需要更新出了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。

延迟标记：每个节点新增加一个标记，记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改操作会影响其子节点)，对于任意区间的修改，我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点，然后修改这些节点的信息，并给这些节点标记上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那么我们就要看节点p是否被标记，如果有，就要按照标记修改其子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时消掉节点p的标记。

因此需要在线段树结构中加入延迟标记域，本文例子中我们加入标记与addMark，表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上addMark的值，同时还需要修改创建函数build 和 查询函数 query，修改的代码用红色字体表示，其中区间更新的函数为update，代码如下：

1 const int INFINITE = INT_MAX;
2 const int MAXNUM = 1000;
3 struct SegTreeNode
4 {
5 int val;
6 int addMark;//延迟标记
7 }segTree[MAXNUM];//定义线段树
8
9 /*
10 功能：构建线段树
11 root：当前线段树的根节点下标
12 arr: 用来构造线段树的数组
13 istart：数组的起始位置
14 iend：数组的结束位置
15 */
16 void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
17 {
18 segTree[root].addMark = 0;//—-设置标延迟记域
19 if(istart == iend)//叶子节点
20 segTree[root].val = arr[istart];
21 else
22 {
23 int mid = (istart + iend) / 2;
24 build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树
25 build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树
26 //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值
27 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
28 }
29 }
30
31 /*
32 功能：当前节点的标志域向孩子节点传递
33 root: 当前线段树的根节点下标
34 */
35 void pushDown(int root)
36 {
37 if(segTree[root].addMark != 0)
38 {
39 //设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递
40 //所以是 “+=”
41 segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark;
42 segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark;
43 //根据标志域设置孩子节点的值。因为我们是求区间最小值，因此当区间内每个元
44 //素加上一个值时，区间的最小值也加上这个值
45 segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark;
46 segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark;
47 //传递后，当前节点标记域清空
48 segTree[root].addMark = 0;
49 }
50 }
51
52 /*
53 功能：线段树的区间查询
54 root：当前线段树的根节点下标
55 [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
56 [qstart, qend]: 此次查询的区间
57 */
58 int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
59 {
60 //查询区间和当前节点区间没有交集
61 if(qstart > nend || qend < nstart)
62 return INFINITE;
63 //当前节点区间包含在查询区间内
64 if(qstart <= nstart && qend >= nend)
65 return segTree[root].val;
66 //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值
67 pushDown(root); //—-延迟标志域向下传递
68 int mid = (nstart + nend) / 2;
69 return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),
70 query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));
71
72 }
73
74 /*
75 功能：更新线段树中某个区间内叶子节点的值
76 root：当前线段树的根节点下标
77 [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
78 [ustart, uend]: 待更新的区间
79 addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）
80 */
81 void update(int root, int nstart, int nend, int ustart, int uend, int addVal)
82 {
83 //更新区间和当前节点区间没有交集
84 if(ustart > nend || uend < nstart)
85 return ;
86 //当前节点区间包含在更新区间内
87 if(ustart <= nstart && uend >= nend)
88 {
89 segTree[root].addMark += addVal;
90 segTree[root].val += addVal;
91 return ;
92 }
93 pushDown(root); //延迟标记向下传递
94 //更新左右孩子节点
95 int mid = (nstart + nend) / 2;
96 update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal);
97 update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal);
98 //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
99 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
100 }
区间更新举例说明：当我们要对区间[0,2]的叶子节点增加2，利用区间查询的方法从根节点开始找到了非叶子节点[0-2]，把它的值设置为1+2 = 3，并且把它的延迟标记设置为2，更新完毕；当我们要查询区间[0,1]内的最小值时，查找到区间[0,2]时，发现它的标记不为0，并且还要向下搜索，因此要把标记向下传递，把节点[0-1]的值设置为2+2 = 4，标记设置为2，节点[2-2]的值设置为1+2 = 3，标记设置为2（其实叶子节点的标志是不起作用的，这里是为了操作的一致性），然后返回查询结果：[0-1]节点的值4；当我们再次更新区间[0,1]（增加3）时，查询到节点[0-1],发现它的标记值为2，因此把它的标记值设置为2+3 = 5，节点的值设置为4+3 = 7；

其实当区间更新的区间左右值相等时（[i,i]），就相当于单节点更新，单节点更新只是区间更新的特例。

三 线段树实战

求区间的最大值、区间求和等问题都是采用类似上面的延迟标记域。下面会通过acm的一些题目来运用一下线段树。