时间复杂度O(n)

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于 2023-10-13 11:05:01 首次发布

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一. 前言

同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。

二. 时间频度和空间复杂度

2.1. 时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

2.2. 空间复杂度

与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作: S(n)=O(f(n))
我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。

三. 时间复杂度

3.1. 概念

在上面提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1)，另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。

3.2. 常见的时间复杂度

复杂度	类型	描述	举例
O(1)	常数阶	最低复杂度，耗时/耗空间与数据的大小无关，无论输入的数据增大多少倍耗时还是空间都不变。	哈希算法就是典型的O(1)时间复杂度，无论数据规模多大，都可以在一次计算后找到（不考虑冲突）。
O(log n)，O(log 2n)	对数阶	当数据增大n倍时，耗时增大logn倍（log是以2为底的），也就是n/long。	二分查找算法就是O(log n)算法，每找一次都排除一半的可能。如256个数据找8次就能找到目标。
O(n)	线性阶	数据量增大几倍，耗时也增大几倍。	遍历算法，普通的for循环。
O(n log N)	线性对数阶	将时间复杂度为O(log n)的代码循环N遍，比如数据增大256倍时，耗时增大256*8倍。	归并排序、快速排序、堆排序
O( $n^{2}$ )	平方阶	对n个数的排序，需要循环n*n次	冒泡排序、插入排序、选择排序
O( $n^{3}$ )	立方阶	同上，相当于3层循环	常规的矩阵乘算法
O( $n^{k}$ )	k次方阶	同上，相当于k层循环
O( $2^{n}$ )	指数阶	同上

时间复杂度按数量级递增排列依次为：常数阶O(1) < 对数阶O(logn) < 线性阶O(n) < 线性对数阶O(nlogN) < 平方阶O( $n^{2}$ ) < 立方阶O( $n^{3}$ ) < ……k次方阶O( $n^{k}$ ) < 指数阶O( $2^{n}$ )。

时间复杂度中的log通常都是以2为底的，如logn => $log_{2}^{n}$ 。

3.3. 计算实例

常数阶 O(1)：
temp = i; i = j; j = temp;
以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

对数阶 O(log2n )
i=1; ①
while (i<=n)
i = i * 2; ②

解：语句1的频度是1，设语句2的频度是f(n)，则： $2^{f(n)}$ <= n; f(n) <= log2n，
取最大值f(n) = log2n, T(n) = O(log2n)

线性阶 O(n)：
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) { ②
s=a+b;　　　　 ③
b=a;　　　　　 ④
a=s;　　　　　 ⑤
}
解：语句1的频度：2，语句2的频度： n，语句3的频度：n-1，语句4的频度：n-1，语句5的频度：n-1，T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n)

平方阶 O( $n^{2}$ )：
1). 交换i和j的内容
sum=0；（一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次）
for(j=1;j<=n;j++) （ $n^{2}$ 次）
sum++；（ $n^{2}$ 次）

解：T(n)=2 $n^{2}$ +n+1 =O( $n^{2}$ )
2).
for (i=1; i<n; i++) {
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
   x++; ②
}
解：语句1的频度是n-1；语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2 $n^{2}$ -n-1
f(n)=2 $n^{2}$ -n-1+(n-1)=2 $n^{2}$ -2
该程序的时间复杂度T(n)=O( $n^{2}$ )

立方阶 O( $n^{3}$ )：
for(i = 0; i < n; i++) {
for(j = 0; j < i; j++) {
for(k = 0; k < j; k++)
x = x + 2;
}
}
解：当i=m, j=k的时候，内层循环的次数为k当i=m时，j 可以取 0,1,...,m-1，所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1 = (m-1)m/2次，所以，i从0取到n，则循环共进行了：0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2 = n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O( $n^{3}$ )。

我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最坏情况运行时间是 O( $n^{2}$ )，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次仔细地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O( $n^{2}$ )情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。

下面是一些常用的记法：
访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn) 时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O( $n^{3}$ )，因为算出每个元素都需要将n对元素相乘并加到一起，所有元素的个数是 $n^{2}$ 。
指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元素的集合共有2n个子集，所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为在这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

四. 大O记法

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O( $n^{2}$ )，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。

此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。

“大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”，也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。