冒泡和快速排序的时间复杂度_快速排序过程、时间复杂度分析及改进

前言

之前介绍的插入排序与冒泡排序算法存在一个很明显的问题，就是基于比较和交换的排序策略，从根本上无法对平均时间复杂度进行优化，没有改进的余地和空间。

但是如果我们摒弃插入排序与冒泡排序的思想，另辟蹊径是否能够提升排序效果呢？

答案是肯定的。下面将介绍基于分治策略的两种排序算法，分别是快速排序算法和归并排序算法，并对其进行时间复杂度分析和改进。

一、分治策略

首先，我们先了解一下什么是分治策略。

分治策略：如果一个规模为n的问题，若该问题可以很容易地解决（n较小）时，则直接解决；否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解进行合并得到原问题的解。

如果子问题不独立有公共子问题，那么我们则使用动态规划的思想求解该问题。

分治策略分成三个步骤：

1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小的子问题，相互独立，与原问题形式形同的子问题。
2. 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解决，否则递归地解决各个子问题。
3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

分治法步骤

分治法时间复杂度如下

当采用分治法时，

时，时间复杂度等于”分解+解决+组合“三部分的和。

分治与递归是一对“孪生兄弟”，经常搭配在一起使用，解决很多问题。

采用分治策略主要有两种算法：

1. 快速排序：hard division, easy combination.
2. 归并排序：easy division, hard combination.

二、快速排序过程

快速排序--图片来源：https://blog.youkuaiyun.com/engineerhe/article/details/104131452

上图是一个快速排序算法的动态演示，略显抽象，我们可以通过另一幅图片来看。

快排过程分解--图片来源：https://blog.youkuaiyun.com/engineerhe/article/details/104131452

上图的过程是快速排序的基本过程，快排会先选择一个元素作为枢轴，小的放在他的左边，大的放在他的右边，从而经过n-1次比较，将原问题划分为两个相同的子问题。进而再对两个子问题进行相同的求解过程。

示例代码如下：

public 

三、快排时间复杂度分析

有了代码实现，下面我们要进行快排的时间复杂度分析。

还是按照我们的脉络，先分析最坏情况，再分析最好情况。

1. 最坏情况时间复杂度

最坏情况是选取的枢轴是最小的元素，导致划分后的问题规模是0和n-1，然后接下来枢轴仍然是最小值。给出一个例子，”1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10“，假设每次选取第一个元素作为枢轴，那么这个序列就对应着最坏情况。

我们递推求得该问题的最坏情况时间复杂度为

。

2. 平均时间复杂度

h设所有的可能的输入序列都是等可能性出现的。

我们将所有可能的情况加和起来，进一步可以得到

可以通过将上式展开得到下式。

进而我们有两种方法来得到A(n)，一种是估算法，一种是直接推理法。

①估算法

估算快排时间复杂度为

根据定理3.7的第二个条件，进而我们可以得到

②直接推理计算

这里直接给出过程，大家可以按照过程推导一遍，此处并不做特殊要求。

四、快速排序算法的改进

改进措施：

• 递归：因为递归调用过程是要消耗计算资源的，因此可以改为非递归
• 小排序问题：小排序可以使用其他排序算法
• 枢轴的选取--随机打乱、随机选择等等方法

但是随机打乱、随机选择还是无法避免最坏情况的出现。如果快排策略不改变，无论如何选用枢轴，都存在最坏情况

。