16、矩阵应用与MATLAB实现

矩阵应用与MATLAB实现

1. 矩阵在人口动态模型中的应用

在人口动态研究中，我们可以通过矩阵来模拟种群的增长。以兔子种群为例，为了估计未来几年兔子种群的规模，我们将兔子按年龄划分为不同的年龄组。

• 定义参数 ：

  • 设 (X_i) 为第 (i) 个年龄组的兔子数量。
  • 生存因子 (P_i) 表示第 (i) 个年龄组存活到第 (i + 1) 个年龄组的比例。
  • 生育力 (F_i) 表示第 (i) 个年龄组的每只兔子在一个时间间隔内平均生育的幼兔数量（在生物模型中通常只考虑雌性）。

• 构建模型 ：
  假设兔子种群分为三个年龄组：幼兔、中年兔和老年兔，时间单位为一个月。已知幼兔不能繁殖（(F_1 = 0)），中年兔的生育率为 9（(F_2 = 9)），老年兔的生育率为 12（(F_3 = 12)）。幼兔到中年兔的生存概率为 (\frac{1}{3})（(P_1 = \frac{1}{3})），中年兔到老年兔的生存概率为 0.5（(P_2 = 0.5)），假设老年兔在月底全部死亡。

用 (t) 表示当前月份，(t + 1) 表示下一个月，我们可以得到以下更新种群数量的方程：
[
\begin{cases}
X_1(t + 1) = F_2X_2(t) + F_3X_3(t) \
X_2(t + 1) = P_1X_1(t) \
X_3(t + 1) = P_2X_