14、平面弹性极坐标问题的特征解分析

平面弹性极坐标问题的特征解分析

在平面弹性问题的研究中，极坐标下的弹性解是一个重要的研究方向。本文将详细探讨径向哈密顿系统中对称和反对称变形的特征解。

1. 对称变形的特征解

1.1 零特征值的特征解

零特征值通常对应特殊情况，需要首先进行分析。其基本方程为 (H\psi_{0}^{(s0)} = 0)，展开该方程可得一组方程组：
[
\begin{cases}
-\nu u_{\rho0}^{(s0)} - \nu\frac{du_{\phi0}^{(s0)}}{d\phi}+\frac{1 - \nu^2}{E}S_{\rho0}^{(s0)} = 0 \
-\frac{du_{\rho0}^{(s0)}}{d\phi}+u_{\phi0}^{(s0)}+\frac{2(1 + \nu)}{E}S_{\rho\phi0}^{(s0)} = 0 \
Eu_{\rho0}^{(s0)} + E\frac{du_{\phi0}^{(s0)}}{d\phi}+\nu S_{\rho0}^{(s0)}-\frac{dS_{\rho\phi0}^{(s0)}}{d\phi} = 0 \
-E\frac{du_{\rho0}^{(s0)}}{d\phi}-E\frac{d^2u_{\phi0}^{(s0)}}{d\phi^2}-\nu\frac{dS_{\rho0}^{(s0)}}{d\phi}-S_{\rho\phi0}^{(s0)} = 0
\end{cases}
]
从最后两个方程可得到 (\frac{d^2S_{\rho\phi0}^{(s0)}}{d\phi^2}+S_{\rho\phi0}^{(s0)} = 0)，其通解为 (S_{\rho\phi0}^{(s0)} = c_1\cos\phi + c_2\sin\phi)。

将该通解代入相关方程，并结合对称条件和边界条件，可得到 (c_1 = c_2 = 0)，进而得到 (S_{\rho\phi0}^{(s0)} = E\left(u_{\rho0}^{(s0)}+\frac{du_{\phi0}^{(s0)}}{d\phi}\right)+\nu S_{\rho0}^{(s0)} = 0)。

联立求解相关方程，可得 (S_{\rho0}^{(s0)} = 0)，(u_{\rho0}^{(s0)}+\frac{du_{\phi0}^{(s0)}}{d\phi} = 0)，以及 (\frac{du_{\rho0}^{(s0)}}{d\phi}-u_{\phi0}^{(s0)} = 0)。

最终解得 (u_{\rho0}^{(s0)} = c_3\cos\phi + c_4\sin\phi)，(u_{\phi0}^{(s0)} = -c_3\sin\phi + c_4\cos\phi)，代入对称条件可得 (c_4 = 0)。因此，零特征值的对称基本特征向量为 (\psi_{0}^{(s0)} = [\cos\phi, -\sin\phi, 0, 0]^T)，该特征向量对应原问题的解 (v_{0}^{(s0)} = \psi_{0}^{(s0)})，在物理上可解释为沿对称轴的单位刚体平移。

由于零特征值的特征解只有一个链，存在一阶约旦标准型特征解，其方程为 (H\psi_{0}^{(s1)} = \psi_{0}^{(s0)})。经过类似推导，可得 (S_{\rho\phi0}^{(s1)} = 0)，进而得到 (S_{\rho0}^{(s1)} = E\cos\phi)，(u_{\rho0}^{(s1)}+\frac{du_{\phi0}^{(s1)}}{d\phi} = -\nu\cos\phi)，(\frac{du_{\rho0}^{(s1)}}{d\phi}-u_{\phi0}^{(s1)} = \sin\phi)。

求解这些方程可得 (u_{\rho0}^{(s1)} = \frac{1 - \nu}{2}\phi\sin\phi + c_3\cos\phi + c_4\sin\phi)，(u_{\phi0}^{(s1)} = \frac{1 - \nu}{2}\phi\cos\phi - \frac{1 + \nu}{2}\sin\phi - c_3\sin\phi + c_4\cos\phi)，代入对称条件可得 (c_4 = 0)。

因此，零特征值的对称一阶约旦标准型特征向量为 (\psi_{0}^{(s1)} = \left[\frac{1 - \nu}{2}\phi\sin\phi, \frac{1 - \nu}{2}\phi\cos\phi - \frac{1 + \nu}{2}\sin\phi, E\cos\phi, 0\right]^T)，原问题的解为 (v_{0}^{(s1)} = \psi_{0}^{(s1)}+\xi\psi_{0}^{(s0)})，对应的应力场为 (\sigma_{\rho}=\frac{1}{\rho}E\cos\phi)，(\sigma_{\phi} = 0)，(\tau_{\rho\phi} = 0)。

在两端会产生沿对称轴的合力，对于 (\xi_1\rightarrow-\infty(R_1 = 0))，(\tilde{v} {0}^{(s1)}=\frac{1}{F_N}v {0}^{(s1)}) 是弹性楔顶点受沿对称轴单位集中力作用的解。

由于特征向量 (\psi_{0}^{(s0)}) 和 (\psi_{0}^{(s1)}) 是辛共轭的，即 (\langle\psi_{0}^{(s0)},\psi_{0}^{(s1)}\rangle=\int_{-\alpha}^{\alpha}\psi_{0}^{(s0)T}J\psi_{0}^{(s1)}d\phi=\frac{1}{2}E(2\alpha+\sin2\alpha)\neq0)，零特征值对称特征解的约旦链终止。

1.2 非零特征值的特征解

非零特征值关于 (\phi = 0) 对称的一般特征解为：
[
\begin{cases}
u_{\rho}=A_1\cos[(1 + \mu)\phi]+C_1\cos[(1 - \mu)\phi] \
u_{\phi}=-A_1\sin[(1 + \mu)\phi]+\frac{-3 + \nu - \mu - \nu\mu}{3 - \nu - \mu - \nu\mu}C_1\sin[(1 - \mu)\phi] \
S_{\rho}=\frac{E\mu}{1 + \nu}A_1\cos[(1 + \mu)\phi]+\frac{E\mu(3 - \mu)}{3 - \nu - \mu - \nu\mu}C_1\cos[(1 - \mu)\phi] \
S_{\rho\phi}=-\frac{E\mu}{1 + \nu}A_1\sin[(1 + \mu)\phi]+\frac{E\mu(1 - \mu)}{3 - \nu - \mu - \nu\mu}C_1\sin[(1 - \mu)\phi]
\end{cases}
]
将其代入边界条件可得：
[
\begin{cases}
-\frac{E\mu}{1 + \nu}A_1\cos[(1 + \mu)\alpha]+\frac{E\mu(1 + \mu)}{3 - \nu - \mu - \nu\mu}C_1\cos[(1 - \mu)\alpha] = 0 \
-\frac{E\mu}{1 + \nu}A_1\sin[(1 + \mu)\alpha]+\frac{E\mu(1 - \mu)}{3 - \nu - \mu - \nu\mu}C_1\sin[(1 - \mu)\alpha] = 0
\end{cases}
]
由于 (A_1) 和 (C_1) 不同时为零，行列式为零，可得到对称变形非零特征值 (\mu) 的超越方程 (\sin(2\mu\alpha)+\mu\sin(2\alpha) = 0)。

显然，若 (\mu) 是特征值，则 (-\mu) 也一定是特征值，且可证明该方程无纯虚根。可使用牛顿法求解该超越方程，将其写为 (\frac{\sin x}{x}=-\frac{\sin2\alpha}{2\alpha})，其中 (x = 2\mu\alpha)。

解可分为 (\alpha>\frac{\pi}{2}) 和 (\alpha<\frac{\pi}{2}) 两种情况，前者右侧为正，后者为负。对于 (\alpha>\frac{\pi}{2})，当 (\rho\rightarrow0) 时存在应力奇异性，在 (0 < x < \pi) 有实根。

根据超越方程的特点，只需讨论复平面第一象限的根。对于较大的 (|x|) 存在复根，可使用渐近方法得到迭代初值。

对于 (\alpha = \pi)，相当于裂纹问题，方程的解为 (x = \pi, 2\pi, 3\pi, \cdots)，即 (\mu = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \cdots)，在顶点处存在 (\rho^{\mu - 1}) 的奇异性。

不同角度 (\alpha) 计算得到的部分特征值根列于表 7.1：
|α/(°)|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|180|π|2π|3π|4π|5π|6π|7π|8π|9π|10π|11π|12π|13π|
|170|-3.313595|2π + 0.395112|+2.603832|4π + 0.887387|+2.131078|6π + 1.516289|±0.584204i|8π + 1.521668|±0.995763i|10π + 1.525936|±1.257540i|12π + 1.529418|±1.456962i|
|160|-3.471163|2π + 0.992428|+1.910136|4π + 1.474761|±1.065548i|6π + 1.489566|±1.498203i|8π + 1.499908|±1.788172i|10π + 1.507612|±2.009485i|12π + 1.513610|±2.189284i|
|150|-3.601216|2π + 1.419095|±0.742802i|4π + 1.453587|±1.491782i|6π + 1.473863|±1.887954i|8π + 1.487460|±2.165877i|10π + 1.497315|±2.381868i|12π + 1.504837|±2.558770i|
|120|-3.704010|2π + 1.397618|±1.056610i|4π + 1.439762|±1.734300i|6π + 1.463809|±2.119570i|8π + 1.479576|±2.394128i|10π + 1.490837|±2.608348i|12π + 1.499344|±2.784264i|

求解特征值根后，可从方程中得到 (A_1) 与 (C_1) 的比值，代入表达式得到特征向量，这些特征向量是展开解的基本组成部分。

下面是求解对称变形非零特征值特征解的流程图：

graph TD;
    A[给定一般特征解表达式] --> B[代入边界条件];
    B --> C[得到超越方程];
    C --> D[根据不同α情况分析根];
    D --> E[求解特征值根];
    E --> F[计算A1与C1比值];
    F --> G[得到特征向量];

2. 反对称变形的特征解

2.1 零特征值的特征解

反对称变形零特征值的基本方程为 (H\psi_{0}^{(a0)} = 0)，从最后两个方程可得 (S_{\rho\phi0}^{(a0)} = c_1\cos\phi + c_2\sin\phi)，代入第三个方程可得 (E\left(u_{\rho0}^{(a0)}+\frac{du_{\phi0}^{(a0)}}{d\phi}\right)+\nu S_{\rho0}^{(a0)} = -c_1\sin\phi + c_2\cos\phi)。

将其代入边界条件和反对称条件可得 (c_1 = c_2 = 0)，进而 (S_{\rho\phi0}^{(a0)} = 0)。

联立求解相关方程可得 (S_{\rho0}^{(a0)} = 0)，(u_{\rho0}^{(a0)} = c_3\cos\phi + c_4\sin\phi)，(u_{\phi0}^{(a0)} = -c_3\sin\phi + c_4\cos\phi)，代入反对称条件可得 (c_3 = 0)。

因此，零特征值的反对称基本特征向量为 (\psi_{0}^{(a0)} = [\sin\phi, \cos\phi, 0, 0]^T)，该特征向量对应原问题的解 (v_{0}^{(a0)} = \psi_{0}^{(a0)})，在物理上可解释为沿垂直于对称轴方向的单位刚体平移。

同样，由于零特征值的特征解只有一个链，存在一阶约旦标准型特征解，其方程为 (H\psi_{0}^{(a1)} = \psi_{0}^{(a0)})。经过类似推导，可得 (S_{\rho\phi0}^{(a1)} = 0)，进而得到 (S_{\rho0}^{(a1)} = E\sin\phi)，(u_{\rho0}^{(a1)}+\frac{du_{\phi0}^{(a1)}}{d\phi} = -\nu\sin\phi)，(\frac{du_{\rho0}^{(a1)}}{d\phi}-u_{\phi0}^{(a1)} = -\cos\phi)。

求解这些方程可得 (u_{\rho0}^{(a1)} = -\frac{1 - \nu}{2}\phi\cos\phi + c_3\cos\phi + c_4\sin\phi)，(u_{\phi0}^{(a1)} = \frac{1 - \nu}{2}\phi\sin\phi + \frac{1 + \nu}{2}\cos\phi - c_3\sin\phi + c_4\cos\phi)，代入反对称条件可得 (c_3 = 0)。

因此，零特征值的反对称一阶约旦标准型特征向量为 (\psi_{0}^{(a1)} = \left[-\frac{1 - \nu}{2}\phi\cos\phi, \frac{1 - \nu}{2}\phi\sin\phi + \frac{1 + \nu}{2}\cos\phi, E\sin\phi, 0\right]^T)，原问题的解为 (v_{0}^{(a1)} = \psi_{0}^{(a1)}+\xi\psi_{0}^{(a0)})，对应的应力场为 (\sigma_{\rho}=\frac{1}{\rho}E\sin\phi)，(\sigma_{\phi} = 0)，(\tau_{\rho\phi} = 0)。

在原点会产生垂直于对称轴的合力，对于 (\xi_1\rightarrow-\infty(R_1 = 0))，(\tilde{v} {0}^{(a1)}=\frac{1}{F_S}v {0}^{(a1)}) 是弹性楔顶点受垂直于对称轴单位集中力作用的解。

由于特征向量 (\psi_{0}^{(a0)}) 和 (\psi_{0}^{(a1)}) 是辛共轭的，即 (\langle\psi_{0}^{(a0)},\psi_{0}^{(a1)}\rangle=\frac{1}{2}E[2\alpha - \sin(2\alpha)]\neq0)，零特征值反对称特征解的约旦链终止。

2.2 (\mu = \pm1) 的特征解

非零特征值对应关于 (\phi = 0) 反对称变形的一般解为：
[
\begin{cases}
u_{\rho}=B_2\sin[(1 + \mu)\phi]+\frac{3 - \nu - \mu - \nu\mu}{3 - \nu + \mu + \nu\mu}D_2\sin[(1 - \mu)\phi] \
u_{\phi}=B_2\cos[(1 + \mu)\phi]+D_2\cos[(1 - \mu)\phi] \
S_{\rho}=\frac{E\mu}{1 + \nu}B_2\sin[(1 + \mu)\phi]+\frac{E\mu(3 - \mu)}{3 - \nu + \mu + \nu\mu}D_2\sin[(1 - \mu)\phi] \
S_{\rho\phi}=\frac{E\mu}{1 + \nu}B_2\cos[(1 + \mu)\phi]-\frac{E\mu(1 - \mu)}{3 - \nu + \mu + \nu\mu}D_2\cos[(1 - \mu)\phi]
\end{cases}
]
将其代入边界条件可得：
[
\begin{cases}
-\frac{E\mu}{1 + \nu}B_2\sin[(1 + \mu)\alpha]+\frac{E\mu(1 + \mu)}{3 - \nu + \mu + \nu\mu}D_2\sin[(1 - \mu)\alpha] = 0 \
\frac{E\mu}{1 + \nu}B_2\cos[(1 + \mu)\alpha]-\frac{E\mu(1 - \mu)}{3 - \nu + \mu + \nu\mu}D_2\cos[(1 - \mu)\alpha] = 0
\end{cases}
]
由于 (B_2) 和 (D_2) 不同时为零，行列式为零，可得到反对称变形非零特征值 (\mu) 的超越方程 (\sin(2\mu\alpha)-\mu\sin(2\alpha) = 0)。

显然，若 (\mu) 是特征值，则 (-\mu) 也一定是特征值。对于任意 (\alpha)，(\mu = \pm1) 是该方程的根。

当 (\mu = 1) 时，由边界条件方程可得 (B_2 = 0)，不妨设 (D_2 = 1)，则 (\mu = 1) 的基本特征解为 (\psi_{1}^{(a0)} = [0, 1, 0, 0]^T)，原问题的解为 (v_{1}^{(a0)} = e^{\xi}\psi_{1}^{(a0)} = [0, \rho, 0, 0]^T)，在物理上可解释为绕原点的刚体转动。

当 (\mu = -1) 时，由边界条件方程可得 (B_2=\frac{1 + \nu}{1 - \nu}D_2\cos(2\alpha))，不妨设 (D_2 = 1 - \nu)，则 (\mu = -1) 的特征解为：
[
\psi_{-1}^{(a0)}=\begin{cases}
\frac{2\sin(2\phi)}{(1 + \nu)\cos(2\alpha)+(1 - \nu)\cos(2\phi)} \
-2E\sin(2\phi) \
-E\cos(2\alpha)+E\cos(2\phi)
\end{cases}
]
原问题的解为 (v_{-1}^{(a0)} = \exp(-\xi)\psi_{-1}^{(a0)} = \rho^{-1}\psi_{-1}^{(a0)})，对应的应力场为 (\sigma_{\rho}=-\frac{2}{\rho^2}E\sin(2\phi))，(\sigma_{\phi} = 0)，(\tau_{\rho\phi}=\frac{1}{\rho^2}E[\cos(2\phi)-\cos(2\alpha)])。

该应力场在弹性楔顶点产生集中力偶，对于一般情况 (\alpha\neq\tilde{\alpha}(\tan(2\tilde{\alpha}) = 2\tilde{\alpha}, \tilde{\alpha}\approx0.715\pi))，(M\neq0)，特征解相当于楔顶点受集中力偶作用。

(v_{1}^{(a0)}) 和 (v_{-1}^{(a0)}) 分别是扇形域中的刚体转动和纯弯曲解，对应条形域中的刚体转动和纯弯曲解。特征向量 (\psi_{1}^{(a0)}) 和 (\psi_{-1}^{(a0)}) 是辛共轭的，即 (\langle\psi_{1}^{(a0)},\psi_{-1}^{(a1)}\rangle = E[\sin(2\alpha)-2\alpha\cos(2\alpha)] = M\neq0)，楔顶点受单位集中力偶作用的解为 (v=\frac{1}{M}v_{-1}^{(a0)}=\frac{1}{\rho M}\psi_{-1}^{(a0)})。

当 (\alpha = \tilde{\alpha}) 时，(M = 0)，(\psi_{1}^{(a0)}) 和 (\psi_{-1}^{(a0)}) 不再辛共轭而是辛正交，存在分别与它们辛共轭的特征向量。此时会出现弹性楔悖论，虽然可以用半逆方法求解，但该方法不合理且不能直接应用于其他类似问题。

当 (\alpha = \tilde{\alpha}) 时，(\mu = 1) 的约旦标准型特征解可通过求解 (H\psi_{1}^{(a1)} = \psi_{1}^{(a1)}+\psi_{1}^{(a0)}) 得到，(\mu = -1) 的约旦标准型特征解可通过求解 (H\psi_{-1}^{(a1)} = -\psi_{-1}^{(a1)}+\psi_{-1}^{(a0)}) 得到。

最终得到所有 (\mu = \pm1) 对于楔角 (\alpha = \tilde{\alpha}) 的特征解，且特征向量之间存在特殊的辛共轭和辛正交关系。

2.3 一般非零特征值的特征解

方程 (\sin(2\mu\alpha)-\mu\sin(2\alpha) = 0) 除了 (\mu = \pm1) 的根外，还有无限多个特征值，且可证明该方程无纯虚根。

对于非零特征值，超越方程可写为 (\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin(2\alpha)}{2\alpha})，其中 (x = 2\mu\alpha)。从奇异解的角度，更关注 (|\mu| < 1) 的根。

当 (\alpha < \frac{\pi}{2}) 时，方程右侧为正，由于函数 (\frac{\sin x}{x}) 在 (0\leq x < \pi) 单调递减，(|\mu| < 1) 无实根，(\text{Re}(\mu) < 1) 也无实根。

当 (\frac{\pi}{2} < \alpha\leq\pi) 时，方程右侧为负，从函数曲线可知，(2\alpha < 2\tilde{\alpha}) 时只有 (\mu = 1) 的解；(2\tilde{\alpha} < 2\alpha\leq2\pi) 存在 (\mu < 1) 的实根；(\alpha = \pi) 时，(\mu = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \cdots)。对于其他不同的 (\alpha) 值，存在许多复根。

不同角度 (\alpha) 计算得到的部分特征值根列于表 7.2：
|α/(°)|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|180|π|2π|3π|4π|5π|6π|7π|8π|9π|10π|11π|12π|
|170|2π - 2.948172|4π - 2.524356|6π - 1.736228|8π - 1.622449|10π - 1.617676|12π - 1.613832|-0.349066|-0.749255|-1.520924|±0.821515i|±1.137183i|±1.362919i|
|160|2π - 2.718902|4π - 1.677034|6π - 1.658695|8π - 1.646442|10π - 1.637574|12π - 1.630808|-0.698132|±0.706814i|±1.308939i|±1.654492i|±1.905229i|±2.103549i|
|150|2π - 2.456159|4π - 1.702609|6π - 1.676738|8π - 1.660332|10π - 1.648846|12π - 1.640282|-1.047247|±1.201317i|±1.710587i|±2.036754i|±2.279830i|±2.474288i|
|120|2π - 2.094435|4π - 1.719585|6π - 1.688385|8π - 1.669172|10π - 1.655959|12π - 1.646228|-1.470587|±1.459254i|±1.946271i|±2.266485i|±2.507054i|±2.700211i|

求解特征值根后，从方程中得到 (B_2) 与 (D_2) 的比值，代入表达式得到特征向量，这些特征向量是外部载荷和边界条件在 (\rho = R_1) 和 (\rho = R_2) 时展开解的基本组成部分，数值计算可通过计算机程序完成。

下面是求解反对称变形一般非零特征值特征解的流程图：

graph TD;
    A[给定一般解表达式] --> B[代入边界条件];
    B --> C[得到超越方程];
    C --> D[根据不同α情况分析根];
    D --> E[求解特征值根];
    E --> F[计算B2与D2比值];
    F --> G[得到特征向量];

综上所述，通过对平面弹性极坐标问题中对称和反对称变形特征解的分析，我们得到了不同情况下的特征值和特征向量，这些结果对于理解弹性体的力学行为和解决相关工程问题具有重要意义。同时，辛方法在求解过程中展现出了其独特的优势，为弹性力学问题的研究提供了新的思路和方法。

平面弹性极坐标问题的特征解分析

3. 特征解在弹性楔问题中的应用及优势

在弹性楔问题中，上述求得的特征解有着重要的应用。对于对称变形和反对称变形的不同特征解，它们分别对应着弹性楔在不同受力情况下的力学响应。

3.1 集中力作用下的弹性楔解

在对称变形零特征值的一阶约旦标准型特征解中，当 (\xi_1\rightarrow-\infty(R_1 = 0)) 时，(\tilde{v} {0}^{(s1)}=\frac{1}{F_N}v {0}^{(s1)}) 是弹性楔顶点受沿对称轴单位集中力作用的解。同样，在反对称变形零特征值的一阶约旦标准型特征解中，(\tilde{v} {0}^{(a1)}=\frac{1}{F_S}v {0}^{(a1)}) 是弹性楔顶点受垂直于对称轴单位集中力作用的解。

这表明通过特征解的求解，我们可以直接得到弹性楔在特定集中力作用下的位移和应力分布，为解决实际工程中弹性楔受集中力的问题提供了精确的理论依据。

3.2 集中力偶作用下的弹性楔解

对于反对称变形中 (\mu = \pm1) 的特征解，当一般情况 (\alpha\neq\tilde{\alpha}) 时，(v_{1}^{(a0)}) 和 (v_{-1}^{(a0)}) 分别对应扇形域中的刚体转动和纯弯曲解，楔顶点受单位集中力偶作用的解为 (v=\frac{1}{M}v_{-1}^{(a0)}=\frac{1}{\rho M}\psi_{-1}^{(a0)})。

当 (\alpha = \tilde{\alpha}) 时，虽然出现了弹性楔悖论，但通过求解约旦标准型特征解，我们依然可以得到所有 (\mu = \pm1) 对于楔角 (\alpha = \tilde{\alpha}) 的特征解，进而得到楔顶点受集中力偶作用的解。这体现了特征解方法在处理复杂受力情况时的强大能力。

3.3 辛方法的优势

在整个求解过程中，辛方法展现出了显著的优势。辛方法将弹性力学问题转化为哈密顿系统下的特征值问题，使得求解过程更加系统和规范。

• 理论完整性 ：辛方法将弹性解视为一个完整的系统，为弹性力学问题的求解提供了坚实的理论基础。通过求解特征值和特征向量，我们可以得到弹性体在不同变形情况下的基本解，这些基本解构成了展开解的基础，从而可以解决各种复杂的边界条件和载荷情况。
• 物理意义明确 ：得到的特征解具有明确的物理意义，如对称变形零特征值的特征解对应沿对称轴的单位刚体平移，反对称变形零特征值的特征解对应沿垂直于对称轴方向的单位刚体平移等。这有助于我们直观地理解弹性体的力学行为。
• 求解效率高 ：辛方法可以同时得到应力和位移的解，避免了传统方法中需要分别求解应力和位移的繁琐过程。而且，对于一些特殊情况，如集中力和集中力偶作用下的弹性楔问题，辛方法可以直接给出精确解，提高了求解效率。

4. 与其他方法的对比及局限性

4.1 与有限元方法的对比

• 解析方法的优势 ：解析方法（如本文的特征解方法）的主要优势在于能够得到精确解。对于规则域的弹性楔问题，通过特征解的求解可以得到位移和应力的精确表达式，这对于深入理解弹性体的力学行为和进行理论分析非常有帮助。
• 有限元方法的必要性 ：然而，解析方法只适用于规则域的问题。在实际工程中，结构往往具有复杂的几何形状和边界条件，此时解析方法就难以应用。有限元方法则可以处理各种复杂的结构，通过将结构离散为有限个单元，求解每个单元的力学响应，从而得到整个结构的力学行为。

因此，在实际工程中，通常需要将解析方法和有限元方法结合使用。对于结构中的规则子结构，可以使用解析方法得到精确解；对于复杂部分，则使用有限元方法进行计算。

4.2 特征解方法的局限性

• 适用范围有限 ：特征解方法主要适用于规则域的弹性问题，对于不规则形状的弹性体或具有复杂边界条件的问题，很难直接应用该方法。
• 计算复杂度 ：在求解非零特征值的超越方程时，对于一些复杂的情况，如存在复根时，需要使用渐近方法和牛顿法进行迭代求解，计算复杂度较高。而且，随着问题规模的增大，特征值的求解和特征向量的计算会变得更加困难。

5. 总结与展望

5.1 总结

通过对平面弹性极坐标问题中对称和反对称变形特征解的详细分析，我们系统地得到了不同情况下的特征值和特征向量。这些特征解不仅具有明确的物理意义，对应着弹性体的刚体平移、转动和纯弯曲等力学行为，而且在弹性楔问题中得到了具体的应用，为解决集中力和集中力偶作用下的弹性楔问题提供了精确的解。

辛方法在求解过程中展现出了理论完整性、物理意义明确和求解效率高等优势，为弹性力学问题的研究提供了新的思路和方法。同时，我们也认识到特征解方法的局限性，需要与有限元方法等其他方法结合使用，以解决实际工程中的复杂问题。

5.2 展望

• 拓展应用范围 ：未来可以进一步研究如何将特征解方法应用于更复杂的几何形状和边界条件的弹性问题，如具有裂纹、孔洞等缺陷的弹性体。通过改进求解方法和理论模型，扩大特征解方法的适用范围。
• 与数值方法的深度融合 ：加强解析方法和有限元方法等数值方法的融合，开发更加高效的计算算法。例如，可以将特征解作为有限元方法中的基函数，提高有限元方法的计算精度和效率。
• 多物理场耦合问题 ：考虑将特征解方法应用于多物理场耦合的弹性力学问题，如热 - 结构耦合、流 - 固耦合等。研究在多物理场作用下弹性体的特征解，为解决复杂的工程实际问题提供更全面的理论支持。

总之，平面弹性极坐标问题的特征解分析为弹性力学的研究开辟了新的途径，未来还有许多值得深入研究和探索的方向。通过不断的研究和创新，有望解决更多复杂的工程实际问题，推动弹性力学学科的发展。

下面是特征解方法在弹性楔问题中应用的总结表格：
|应用场景|特征解类型|解的表达式|物理意义|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|弹性楔顶点受沿对称轴单位集中力|对称变形零特征值一阶约旦标准型| (\tilde{v} {0}^{(s1)}=\frac{1}{F_N}v {0}^{(s1)}) |沿对称轴的力学响应|
|弹性楔顶点受垂直于对称轴单位集中力|反对称变形零特征值一阶约旦标准型| (\tilde{v} {0}^{(a1)}=\frac{1}{F_S}v {0}^{(a1)}) |垂直于对称轴的力学响应|
|弹性楔顶点受集中力偶（(\alpha\neq\tilde{\alpha})）|反对称变形 (\mu = \pm1) | (v=\frac{1}{M}v_{-1}^{(a0)}=\frac{1}{\rho M}\psi_{-1}^{(a0)}) |刚体转动和纯弯曲响应|
|弹性楔顶点受集中力偶（(\alpha = \tilde{\alpha})）|反对称变形 (\mu = \pm1) 约旦标准型| (v=\frac{1}{\rho \tilde{M}}[\psi_{-1}^{(a1)}+\psi_{-1}^{(a0)}\ln\rho]) |特殊情况下的力学响应|

下面是特征解方法与有限元方法结合应用的流程图：

graph TD;
    A[判断结构是否规则] --> B{是};
    B --> C[使用特征解方法求解];
    A --> D{否};
    D --> E[使用有限元方法求解];
    C --> F[得到精确解];
    E --> G[得到近似解];
    F --> H[应用于规则子结构];
    G --> I[应用于复杂部分];
    H --> J[结合得到整体结构解];
    I --> J;