12、平面各向异性弹性问题及叠层复合板圣维南问题研究

平面各向异性弹性问题及叠层复合板圣维南问题研究

1. 平面各向异性弹性问题求解思路

在平面各向异性弹性问题中，若不预先应用特定方程处理非齐次项，而是直接求解相关方程，可得到近似解，即忽略特定方程中方括号内的项。对于平面条带域问题（$h \ll l$），方括号内的项为高阶小量，这表明通过展开零特征值的特征向量来求解圣维南问题的方法是有效且实用的。

不过，由于仅应用零特征值的特征解，一般情况下两端（$z = 0$ 或 $l$）的边界条件难以严格满足。此时需引入松弛边界条件，其影响根据圣维南原理局限在附近区域。若要严格满足边界条件，则需包含非零特征值的特征解。对于复杂问题，如一般矩形域或短梁问题，圣维南原理不再适用，因为横向尺寸 $h$ 相对于纵向尺寸 $l$ 并非高阶小量，所以需要在展开定理中应用非零特征值的特征解来解决问题。

1.1 非零特征值的特征解

非零特征值的特征解的特征值方程为：
[
\det
\begin{bmatrix}
-\mu & \frac{s_{13}}{s_{11}}\tilde{\lambda} & \frac{b_{55}}{s_{11}d} & -\frac{b_{35}}{s_{11}d} & -\tilde{\lambda} & \frac{s_{15}}{s_{11}}\tilde{\lambda} - \mu \
-\frac{b_{35}}{s_{11}d} & \frac{b_{33}}{s_{11}d} & 0 & 0 & -\mu & -\tilde{\lambda} \
0