10、数学算法：连分数、平方根与随机数生成

数学算法：连分数、平方根与随机数生成

连分数生成算法

连分数是一种特殊的分数表示形式，任何数都可以用连分数来表示。对于已经是整数分数的数，求其连分数展开相对容易。

以 105/33 为例，我们的目标是将其表示为如下形式：
[
\frac{105}{33} = a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \frac{1}{e + \frac{1}{f + \cdots}}}}}
]
这里的省略号可能表示有限项而非无限项。

具体步骤如下：
1. 将 105/33 看作除法问题，105 除以 33 商 3 余 6，可将 105/33 重写为 (3 + \frac{6}{33})。由此可知，等式两边的整数部分相等，即 (a = 3)。
2. 接下来需要找到合适的 (b, c) 等，使得整个分数部分的值等于 (\frac{6}{33})。对等式 (\frac{6}{33} = \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \frac{1}{e + \frac{1}{f + \cdots}}}}}) 两边取倒数，得到 (\frac{33}{6} = b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \frac{1}{e + \frac{1}{f + \cdots}}}}})。
3. 再对 33 除以 6，商 5 余 3，将 33/6 重写为 (5 + \frac{3}{6})，可知 (b = 5)。
4. 继续化简 (\frac{3}{6})，若不能直接看出其等于 (\frac{1}{2})，可按之前的方法，(\frac{3}{6}) 的