关于囚徒问题的概率解释(

最近一个会上说到了monty hall问题，发现原来讨论过的问题只是依稀记得，因此这次把网上找的分析过程给记下来，顺便温习下经典的囚徒问题。

网上的文章如下；

    囚徒问题 有三个囚徒，A，B，C等待判决，国王宣布，他们中的一个人将会被赦免，另两个将会被处决。在执行的前夜，A很希望能够知道自己的命运，于是询问监狱长W，监狱长W虽然知道结果，但按照规定不能提前告诉犯人。W想了一下，就告诉了A，B将一定会被处决。A听了很高兴，因为他认为B一定被处决，所以自己获释的概率就由1/3上升到了1/2。但W认为结果并没有改变，A被处决的概率还是1/3，请问W和A谁想的有道理？

    这个题目是一个可以用来比较好的理解条件概率概念的问题。首先简单介绍一下条件概率的一些符号规定和几个基本结论。

      现有A，B两个事件， P(A)是A事件发生的概率P(B)是B事件发生的概率P(A，B)是A，B事件同时发生的概率P(A | B)是已知B发生的情况下，A发生的概率P(B | A)是已知A发生的情况下，B发生的概率

P(A,B)=P(A | B)*P(B)=P(B | A)*P(A)

P(A | B)=P(A,B)/P(B)

P(B | A)=P(A,B)/P(A)

我们现在用以上的定义和公式来解决这个问题

P(W say B executed)=P(W say B | A pardoned)*P(A pardoned)+P(W say B | B pardoned)*P(B pardoned)+P(W say B | C pardoned)*P(C pardoned)=1/2*1/3+0*1/3+1*1/3=1/2

P(A pardoned | W say B executed)=P(A pardoned,W say B)/P(W say B)=P(W say B | A pardoned)*P(A pardoned)/P(W say B)=(1/2*1/3) / (1/2)=1/3

所以当已知W说B肯定被处决的情况下，A被赦免的概率依然是1/3，而与此同时C被赦免的概率却上升到了2/3，结果依然归一，

我们来证明这一点。

 P(C pardoned | W say B executed)=P(C pardoned, W say B)/P(W say B)=P(W say B | C pardoned)*P(C pardoned)/P(W say B)=(1*1/3) / (1/2)=2/3

值得注意的是，在这个题目里面P(W say B)指的是W说B被处决的概率，并不真的是B被处决的概率。另外一点值得注意的是，W say B是指W say B was executed to A，是对A说的，之所以排除掉B之后，A和C的概率并不是50%对50%的原因是，W对A说的话是有选择的，W只能在B和C中选出一个。而P(W say B | A pardoned)=1/2，P(W say B | C pardoned)=1，两者并不相等，也就是说A和C的对称性在这里已经被破坏掉了。 所以我们说A被赦免的概率并没有上升，但A也并不是没有获得新的信息，他获得的新信息就是C被赦免的概率上升到了2/3。这个时候，如果我们说三个人是抽签，一个人会被赦免，此时A如果有一个权力可以和C换签，那么我们认为，A决定换是更加有利的。

 这样我们就归结到了以前讨论过的那个卡片问题，三个卡片中有一个卡片上画了汽车，两张空白，如果抽到画有汽车的卡片，就可以获得一辆汽车，游戏者上去抽取了第一张，还没有翻开，此时主持人走上来翻开了第三张，第三张上是空白卡片。主持人问游戏者想不想换第二张卡片。此时，游戏者应该问主持人两个问题，第一，主持人是不是事先已经知道了三张中哪一张是汽车，第二，这个游戏的规则是不是早就设计好了，当游戏者选取了一张之后，主持人就上来翻开一张不是汽车的卡片。如果两个问题的回答都是肯定的话，主持人事先知道全部信息，并且主持人一定会上来翻开一张卡片，那么，我们说此时，第二张卡片是汽车的的概率上升到了2/3，因为我们从主持人那里获得了新的信息，第一张卡片和第二张卡片的对称性已经被破坏了，我们应该换到第二张卡片。 另外，因为此时游戏规则已经完全确定了，主持人的主观意志已经没有任何影响，所以这个游戏就变成了一个纯粹的概率问题，而非博弈论问题了。但如果游戏规则并不要求主持人中途翻开一张卡片，而是取决于主持人自己，那么，游戏就是一个博弈论问题了。因为我们并不知道主持人是不是希望你获得奖品，并且，我们要对主持人的智力水平进行猜测，有可能主持人会利用以上的概率设置陷阱来引诱你掉入陷阱，当然我们也可以反其道来利用这一点，但一切都取决于我们能不能对主持人的意图和主持人的智力水平有一个正确的评估了，当然与此同时主持人也在对游戏者的智力水平进行着评估，两者形成了博弈。 至此，囚徒问题和汽车卡片问题已经得到了完美的解答。