【BZOJ1010】【HNOI2008】玩具装箱toy（dp+斜率优化）

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#动态规划 #决策单调性 #省选

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本文介绍了一个关于玩具运输的问题，通过动态规划求解最小化容器制作费用的方法，并给出了具体的DP方程推导及实现代码。

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7。

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4

Sample Output

题解：
先推出dp方程:
dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2) (j < i)
令f[i]=sum[i]+i,c=1+l,
则dp[i]=min(dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2)。
然后证明单调性，f[i]单调递增，维护一个下凸壳，每次取出队首做决策。
代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
#define ll long long
#define N 50005
using namespace std;
ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,L;
int c[N],q[N];
ll s[N],f[N],C;
double getup(int y,int x)
{
    return(f[x]-f[y]+(s[x]+C)*(s[x]+C)-(s[y]+C)*(s[y]+C))/(2.0*(s[x]-s[y]));
}
void dp()
{
    int l=1,r=0;
    q[++r]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r && getup(q[l],q[l+1])<=s[i]) l++;
        int t=q[l];
        f[i]=f[t]+(s[i]-s[t]-C)*(s[i]-s[t]-C);
        while(l<r && getup(q[r],i)<getup(q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=i;
    }
}
int main()
{
    n=read(),L=read();
    C=L+1;
    for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=i;
    dp();
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}