9、杆的扭转与扭曲分析

杆的扭转与扭曲分析

1. 引言

梁和杆常常因过度扭转或受到扭矩作用而发生剪切失效。这种情况在过度拧紧的螺栓 - 螺母系统、扭杆、传动轴以及承受偏心载荷的梁中经常出现。我们将回顾杆扭转的基础知识，并进行相应的应力和位移分析。由于大多数受扭杆具有圆形横截面，所以先从圆杆开始讨论，随后简要介绍非圆形横截面的杆和空心管。

2. 圆杆扭转的基本假设

当圆杆受到扭转力矩作用时，每个横截面都处于纯剪切状态。横截面上的剪应力会在截面上产生一个合力矩，该合力矩与施加的扭转力矩大小相等、方向相反。为了更详细地研究这种行为，做出以下基本假设：
1. 杆的材料是均匀且各向同性的。
2. 胡克定律适用，即某一点的剪应力与该点的剪应变成正比。
3. 平面圆形横截面在扭转过程中保持平面（针对圆杆）。
4. 横截面的径向线在扭转过程中保持直线且径向（针对圆杆）。

最后一个假设具有特殊意义，它意味着某一点的应力和应变与该点的径向坐标成正比。因此，最大剪应力出现在横截面的周边。（这与梁因弯曲产生的横向剪切情况不同）。

3. 圆杆的应力、应变和变形（扭转）

假设3和4（横截面保持平面，径向线在扭转过程中保持直线）是圆杆扭转应力和应变分析的基础。这些假设的依据源于横截面的圆对称性，并且也已通过实验验证。

考虑一个圆形横截面的杆R，受到扭转力矩T的作用。取杆R的一段AB，长度为‘。在AB段扭转时，将A处的横截面视为固定。考虑B处横截面相对于A处横截面的旋转。在A和B之间的表面上，设PQ是一条初始平行于杆轴的纵向线。假设由于扭转力矩，B截面相对于A截面旋转了一个角度u，在此过程中Q点旋转到Q0，P