4、二维和三维应变及曲线坐标分析

二维和三维应变及曲线坐标分析

在工程设计和力学分析中，理解材料的应变以及选择合适的坐标系进行分析至关重要。下面将详细介绍二维和三维应变的相关概念，以及曲线坐标系在实际分析中的应用。

1. 小位移概念

在大多数工程材料中，在通常的载荷作用下，位移和变形往往是微小的（聚合物和生物材料可能是例外）。对于小位移情况，与线性项相比，位移的乘积和位移导数的乘积可以忽略不计。这使得我们能够进行线性分析，从而简化分析过程。即使这种线性分析，对于那些位移和变形并非很小的结构和结构组件（如一些聚合物和生物材料），也能提供一定的见解，并且随着位移和变形变得更小，线性分析的有效性会更高。

2. 二维分析

考虑一个弹性体的小方形单元 E，观察其变形前后的状态。为了方便分析，变形情况通常会被夸大表示。设单元 E 在变形前后的顶点分别为 A、B、C、D 和 A’、B’、C’、D’，初始边长为 Δx 和 Δy（且 Δx = Δy）。以平行于变形前单元 E 边缘的 X - Y 笛卡尔坐标系为例，顶点 A 移动到 A’ 的位移在 X - Y 方向的分量分别为 u 和 v。通过截断泰勒级数展开，可以近似得到单元 E 其他顶点的位移：
- 顶点 B 的 X - Y 位移：
[
\begin{cases}
u + \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Delta x^2 + \cdots \
v + \frac{\partial v}{\partial x} \Delta x + \frac{1}{2!} \f