30、图论中旅行商问题与聚类顶点删除问题的近似算法改进

图论中旅行商问题与聚类顶点删除问题的近似算法改进

1. 聚类顶点删除问题的近似算法

聚类顶点删除（Cluster - VD）问题旨在找到一个最小的顶点集合，使得从图中移除这些顶点后，图变成一个簇图（即由多个不相交的完全子图组成的图）。

1.1 7/3 - 近似算法

基于局部比率技术提出了一个 7/3 - 近似算法。该算法的核心思想是存在一组小的诱导子图，这些子图一方面能保证局部比率至多为 7/3，另一方面足够丰富，使得在算法终止前总能找到并利用其中一个。

1.2 2 - 近似算法的猜想与证据

猜想存在一个 2 - 近似算法用于 Cluster - VD 问题。对于无钻石图（diamond - free graphs）这一特殊情况，有一个 2 - 近似算法。该算法基于前面的 7/3 - 近似算法进行改进，主要区别在于使用了一些无限（但易于检测）的 2 - 好图族。这可以看作是无三角形图中 2 - 近似算法的推广。

1.3 LP 松弛的完整性间隙

7/3 - 近似算法的分析表明，对于 Cluster - VD 问题的某个 $O(n^7)$ 大小的线性规划（LP）松弛，其完整性间隙至多为 7/3。通过考虑具有大围长和小稳定数的图，可以发现完整性间隙实际上等于 7/3。具体来说，令所有顶点 $v$ 的 $x_v := 3/7$，可以得到一个可行的分数解，其成本为 $3n/7$。

2. 旅行商问题的近似算法

旅行商问题（TSP）是一个著名的组合优化问题，目标是找到一条最短的路径，使得访问所有城市且每个城市仅访问一次。即使距离满足度量性质，该问题仍然是 NP