Something Interesting

求$n!$：
结论1：$n!=e^{\sum_{i=1}^{n}ln(i)}$
证明：
对上面的式子两边同取$ln$：
$ln(n!)=\sum_{i=1}^{n}ln(i)$
左边$=ln(n!)$
$\ \ \ \ \ =ln(1*2*3*...*n)$
$\ \ \ \ \ =ln(1)+ln(2)+ln(3)+...+ln(n)$
$\ \ \ \ \ =\sum_{i=1}^{n}ln(i)=$右边
当然也可以不取$ln$，随便取别的什么也是资瓷的。
然而上面这个并没有什么卵用，我们并不能用它来减少求n！的复杂度。
结论2：$n!=C_{n}^{\frac{n}{2}}*((\frac{n}{2}!))^{2}$
证明：
左边$=\frac{n!}{(\frac{n}{2})!*(\frac{n}{2})!}*((\frac{n}{2})!)^2$
$\ \ \ \ \ =C_{n}^{\frac{n}{2}}*((\frac{n}{2}!))^{2}=$右边
咦这个好啊！这样的话我们就可以分治啦。
$n!—>\frac{n}{2}!$这样是$O(log(n))$的。
求$C_{n}^{\frac{n}{2}}$呢？
我们也有$O(log(n))$的做法！
$C_{n}^{\frac{n}{2}}=\frac{(2^{n}+1)^{n}}{2^{\frac{n^{2}}{2}}}$
好啊，那这样我们不就可以$O(log(n)^{2})$的求出$n!$了吗？
事实的确如此，然而还有一个问题，就是我们在求$C_{n}^{\frac{n}{2}}$的时候计算的数是$2^{n^{2}}$级的，这样的话 n <script type="math/tex" id="MathJax-Element-6820">n</script>很小的时候就会炸飞。。。所以这个东西的实际价值好像并不是太高，但作为一个理论计算机科学家，至少在理论层次上我们有了突飞猛进的进展（拿来装X还是十分资瓷的）。