hdu 2602 - Bone Collector-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/moonspiritacm/article/details/55051635

1. 地址

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

2. 定位

动态规划
0-1背包

3. 分析

3.1 典型0-1背包

状态转移方程为 $dp[i,v] = max(dp[i-1,v],dp[i-1,v-volume[i]] + value[i])$ 。

$dp[i,v]$ 表示前 $i$ 件物品经选择后放入容量为 $v$ 的背包中获得的最优解（总价格最大），该值可以在前 $i-1$ 件物品最优解的基础上得到：

不放入第 $i$ 件物品，即 $dp[i,v] = dp[i-1,v]$
放入第 $i$ 件物品，同时为其加入腾出足够的空间容量，即 $dp[i,v] = dp[i-1,v-volume[i]] + value[i]$

放入第 $i$ 件物品可能意味着在前 $i-1$ 件物品中少放入部分物品，丢西瓜捡芝麻。因此，二者比较取最大值即为问题的最优解。

3.2 存储空间优化

分析状态转移方程， $dp[i,v]$ 仅与 $dp[i-1,v]$ 和 $dp[i-1,v-volume[i]]$ 有关，采用二维数组完整地存储 $dp[1][],dp[2][], ... ,dp[i-1][]$ 是一种存储空间上的浪费，我们需要的只是 $dp[i-1][]$ 。另外，由于 $dp[i-1][x] x <= v$ ，采用数组逆序更新的方式可以保证上一状态的先使用后更新。

因此，将问题的存储空间由二维数组优化为一维数组，状态转移方程为 $dp[v] = max(dp[v],dp[v-volume[i]] + value[i])$ 。

3.3 边界处理

$dp[0]$ 看似荒谬，实则是有意义的：

$v-volume[i]$ 很容易出现非正数的情况： $v-volume[i] < 0$ 说明背包无法容纳第 $i$ 件物品，舍去； $v-volume[i] = 0$ 相当于在背包中装入首个物品。
$dp[0]$ 表示背包容量为0时背包的总价格，它不一定为0。若某物品体积为0且价格不为0，则背包容量为0时其价格也为正数，这是本题陷阱之一。

不论题中有无此陷阱，建议保留 $dp[0]$ ，尽量避免特殊情况的处理，保证算法逻辑的一般性。

4. 代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_N 1001

int volume[MAX_N];
int value[MAX_N];
int dp[MAX_N];

int main()
{
    int T,N,V;
    int i,j;

    scanf("%d*c",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d*c",&N);
        scanf("%d*c",&V);
        memset(volume,0,sizeof(volume));
        memset(value,0,sizeof(value));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(i=1; i<=N; i++)
        {
            scanf("%d*c",&value[i]);
        }
        for(i=1; i<=N; i++)
        {
            scanf("%d*c",&volume[i]);
        }
        for(i=1; i<=N; i++)
        {
            for(j=V; j>=volume[i]; j--)
            {
                dp[j] = dp[j-volume[i]] + value[i] > dp[j] ? dp[j-volume[i]] + value[i] : dp[j];
            }
        }
        printf("%d\n",dp[V]);
    }
    return 0;
}