HDU - 1709 The Balance

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本文探讨了一道经典的砝码称重问题，通过生成函数的方法，计算在给定砝码集合中，哪些重量是无法被称出的。文章详细介绍了生成函数的构造过程，以及如何通过代码实现这一算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1709

题意：给你n个砝码和一个天平，问在区间[1,s]中，有多少质量是无法称出的。砝码既可以放在天平左边，也可以放在右边。

由于每个砝码只能用一次，不考虑砝码放在左侧的情况的话，生成函数可以这样写：

(1+x^a1)*(1+x^a2)*...*(1+x^an)

这样得到的结果中，x^k前的系数就代表了称出质量为k的方案数。

如果考虑到砝码放在左侧的情况，生成函数这样写：

(1+x^a1)*(1+x^-a1)*(1+x^a2)*(1+x^-a2)*...*(1+x^an)*(1+x^-an)

对于最终结果x^k前的系数，若ai对其有贡献，则一定是中间*x^ai或是*x^-ai，不可能会出现即*x^ai又*x^-ai的情况（相当于未使用砝码ai）。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)

const int maxn = 1e5 + 10;
const ll mod = 1e9 + 7;

vector<int> ans;
int c1[maxn], c2[maxn], a[maxn];

int main() {
    __;
    int n;
    while (cin >> n) {
        int m = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cin >> a[i];
            m += a[i];
        }
        for (int i = 0; i <= m; ++i)c1[i] = c2[i] = 0;
        c1[0] = 1;
        sort(a + 1, a + 1 + n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                c2[j] += c1[j];
                c2[j + a[i]] += c1[j];
            }
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = m; j >= 0; --j) {
                c2[j] += c1[j];
                if (j - a[i] >= 0) c2[j - a[i]] += c1[j];
            }
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        ans.clear();
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            if (c1[i] == 0) {
                ans.push_back(i);
            }
        }
        cout << ans.size() << endl;
        if (ans.size()) {
            for (int i = 0; i < ans.size(); ++i) {
                cout << ans[i];
                if (i < ans.size() - 1)cout << ' ';
                else cout << endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}