最小二乘法解的矩阵形式推导

最新推荐文章于 2025-06-24 19:38:50 发布
最新推荐文章于 2025-06-24 19:38:50 发布
阅读量6.9w 收藏 181
点赞数 53
CC 4.0 BY-SA版权
分类专栏： Math
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/monsterhoho/article/details/46753673
本文探讨了最小二乘法的概念，将其定义为一种数据拟合方法。通过矩阵的观点，文章详细介绍了如何利用高数知识和矩阵微积分求解最小二乘法的最极值问题，逐步化简并求导，深入解析了最小二乘法的矩阵形式表达。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

最小二乘法解的矩阵形式推导

首先，什么是最小二乘？
维基百科给出了一个定义，戳这里

在我看来，最小二乘法是一种数据拟合方法。

我们从矩阵的角度来理解：
首先我们给出一个矩阵中的定义：

R(A)={ Ax|x∈Rn},A∈Rn×n

有了上面的定义之后，我们就可以写出最小二乘问题的矩阵形式：
∃b∉R(A),b∈Rn,minx∈Rn∥Ax−b∥2

用bi格高一点的说法来说，就是求在欧几里得空间中以2-范数作为距离，使得向量Ax与b之间距离最小的x。
我们的目标是求：
最低0.47元/天 解锁文章

200万优质内容无限畅学
『矩阵论笔记』详解最小二乘法(矩阵形式求导)+Python实战
AI新视界
06-25 4541
关于最小二乘问题的求解，之前已有梯度下降法，还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法，是基于矩阵求导来计算的，它的计算方式更加简洁高效，不需要大量迭代，只需解一个正规方程组。
最小二乘法的矩阵解法
weixin_34159110的博客
07-09 6150
1.公式推导 PPT参考自：中国科学院的PPT ，矩阵解的具体推导过程见博客。 2.两种最小二乘法的平面拟合MATLAB代码对比 2.1用传统的∑方式求平面方程z=ax + by + c的参数 1 function [ a,b,c ]=FitPlane( input_X , input_Y , in...
线性代数——补充4—矩阵微积分
最新发布
Rhett_Butler0922的博客
06-24 249
矩阵微积分在很多领域都非常重要，比如机器学习、优化等。掌握它，你就能更好地理解和解决复杂问题。
最小二乘法的一般形式和矩阵形式原理推导和代码实现
poxiaozhuimeng的专栏
11-14 1万+
转自：作者：金良（golden1314521@gmail.com） csdn博客：http://blog.youkuaiyun.com/u012176591 1.线性代数模型 首先给出最小二乘解的矩阵形式的公式： 推导过程： 条件： 矩阵必须是列满秩矩阵，否则的逆就不会存在。 若A为m×n的矩阵，b为m×1的矩阵，则Ax=b表达了一个线性方程组，
数值计算之 最小二乘法（3）最小二乘的矩阵解法
qq_41035283的博客
11-29 1万+
数值计算之 最小二乘法（3）最小二乘的矩阵解法前言回顾最小二乘的线性解列满秩矩阵的最小二乘解法Cholesky分解求线性最小二乘解QR分解求线性最小二乘解亏秩矩阵的最小二乘解法SVD分解求亏秩最小二乘解后记 前言 之前将最小二乘法与线性方程组求解关联，得到了线性最小二乘的矩阵形式，以及线性最小二乘的几何意义。 本篇将介绍线性最小二乘的矩阵解法。 回顾最小二乘的线性解 对于线性超定方程组Ax=b,A∈Rm×n,m>nAx=b,A\in R^{m\times n},m>nAx=b,A∈Rm×n,m&
【机器学习】最小二乘法（代数&矩阵推导）
ccql's Blog
09-05 5742
文章目录最小二乘法代数求解step1:f=∑i=1n(yi−(w0+w1xi))2f=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-(w_0+w_1x_i))^2f=∑i=1n​(yi​−(w0​+w1​xi​))2为平方损失函数；step2:分别对该函数的w0w_0w0​和w1w_1w1​求偏导；step3:分别令偏导为零；矩阵推导step1:函数式转化为矩阵形式;step2:矩阵对系数WWW求偏导;step3:令偏导为0； 最小二乘法 代数求解 step1:f=∑i=1n(yi−(w0+w1xi))2f=\
矩阵求导解最小二乘问题
热门推荐
ACdreamer
03-27 2万+
关于最小二乘问题的求解，之前已有梯度下降法，还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法，是基于 矩阵求导来计算的，它的计算方式更加简洁高效，不需要大量迭代，只需解一个正规方程组。   在开始之前，首先来认识一个概念和一些用到的定理。矩阵的迹定义如下   一个的矩阵的迹是指的主对角线上各元素的总和，记作。即
最小二乘法的矩阵形式推导
fengying__的博客
01-23 4717
最小二乘法是一种基本的线性回归方法，现总结其矩阵形式的推导。 优化目标 minxf(x)=∣∣Ax−B∣∣22\mathop{min}\limits_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})={||\mathbf{Ax-B||}_2^2}xmin​f(x)=∣∣Ax−B∣∣22​ 第一步： l2范式展开 f(x)=(Ax−B)T(Ax−B)=xTATAx−BTAx−xTATB+BTB=xTATAx−2BTAx+BTB \begin{aligned} f(\mathbf{x}) &= \ma
最小二乘法-超详细推导（转换为矩阵乘法推导，矩阵求导推导）
qq_37040743的博客
05-26 1411
最小二乘法就是让均方误差最小。如何让其最小，。答：因为使用的是均方误差，他是一个凹函数，导数为0的点即为最小值和极小值。建议学习一下线性代数。
最小二乘法矩阵形式推导过程
bingfeiqiji的博客
06-11 2万+
关于矩阵求导部分，可以参考百度文库，讲的比较详细： https://wenku.baidu.com/view/f7fa307a580216fc700afdb9.html 今天稍微回顾了一下最小二乘法的计算步骤，对于一般形式就不说了，对于矩阵形式，以前就没有搞得太明白，今天就仔细看了看，原来是矩阵球道的过程没有搞懂，现在计算如下： 现在形式如下： 的形式，其中，w为列向量，可以对b进行省...
矩阵最小二乘法问题求解
ha_lee的博客
05-09 3280
一、超定方程组 超定方程组是指方程个数大于未知量个数的方程组。对于方程组Ax=bAx=bAx=b，AAA为n×m矩阵，如果R列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。 在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。 如果有向量xxx使得下式的值达到最小，则称 xxx为上述超定方程的最小二乘解。 二、矩阵形式的最小二乘法 最小二乘法问题： E(x)=∥Ax−b∥2 E(\mathbf{x})=\|\mathbf{A} \mathbf{x}-\m
矩阵转置和矩阵最小二乘解
02-28
#include using namespace std; void swap(int &a,int &b) { int temp=a; a=b; b=temp; } void Reverse(int (*a)[3],int n) { int i,j; for(i=0;i <n;i++) { for(j=i+1;j <n;j++) swap(a[i][j],a[j][i]); } } void main() { int a[3][3],i,j; for(i=0;i <3;i++) { for(j=0;j > a[i][j]; } Reverse(a,3); for(i=0;i <3;i++) { for(j=0;j <3;j++) cout < <a[i][j] < < ' '; cout < <endl; } }
最小二乘法矩阵C语言算法
04-07
最小二乘法矩阵C语言算法,希望大家下得愉快.
最小二乘法的矩阵表达
DY7778F的博客
02-04 5903
1 前期准备 为了方便表述，我们先做一些很简单的定义： 假设有一多项式函数： f(x1,x2,⋯ ,xm)=∑i=1maixi f( x_1,x_2,\cdots ,x_m) =\sum_{i=1}^m{a_ix_i} f(x1​,x2​,⋯,xm​)=i=1∑m​ai​xi​ 我们将函数中的自变量都提取出来组成一个列向量xxx： x=[x1,x2,⋯ ,xm]T x=[x_1,x_2,\cdots,x_m]^T x=[x1​,x2​,⋯,xm​]T 则称xxx为一个向量变元。 如[1,2]T[1,2]^T
最小二乘法解的矩阵形式推导，以及BN（batch normalization）的求导公式
zz2230633069的博客
10-22 2327
求解下列最小二乘的解： ，其中 解法一：由基本的实值函数对向量的求导公式推导 解法二：使用线性变换的求导公式 解法三：元素法，网上搜索的绝大部分推导过程都是此法 下面只对上面两种解法解析，具体如下： 求解BN的反向传播公式 1.BN算法的计算过程如下： 其中m是批的...
最小二乘法矩阵形式推导
花花公子
05-10 9476
最小二乘法的矩阵推导
博客
11-04 1万+
顾名思义，从数学意义推导最小二乘法公式： 一，解释 最小二乘法本质是寻找一组x，使Ax与b距离最近。写成二范数的形式为： 最合适的x一般出现在函数的极值点，也就是导数为0的点，所以为求导计算方便，我们用二范数的平方作为计算公式： 补充知识：（1）二范数 二，推导 补充知识：设下列向量条件 （2）标量对列向量求导 证明过程： 另一个同理可证。 （3）特殊标量对列向量求...
机器学习笔记——矩阵的最小二乘法
weixin_41654782的博客
10-05 1万+
最小二乘法 1. 简介 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 2. 作用 在线性回归中，最小二乘法与梯度下降算法作用基本相同，都是为了找到一个最优解使得曲线能够较好的拟合实际情况。其...
最小二乘法矩阵推导
weixin_45589116的博客
04-07 1795
最小二乘法矩阵推导 特征变量： 预测模型参数： 预测值： 实际值：
用矩阵形式推导多元普通最小二乘法
05-08
<think>好的，我现在要帮助用户推导多元线性回归的最小二乘法的矩阵形式。首先，我需要回忆一下用户之前的提问和我的回答，确保一致性。用户之前问过预测方差的推导，其中已经涉及了线性回归模型的矩阵形式，比如参数估计的公式$\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y$。现在用户明确要求推导多元OLS的矩阵形式，所以需要详细展开这个过程。 首先，用户提供的引用内容中，引用[2]提到了多元线性回归的模型写成矩阵形式：$Y = X\beta + \epsilon$，这应该是推导的起点。用户可能已经了解模型设定，但需要一步步从模型出发，推导出参数估计的矩阵表达式。 接下来，我需要考虑最小二乘法的原理，即最小化残差平方和。在矩阵形式下，残差向量是$e = Y - X\hat{\beta}$，所以残差平方和是$e'e = (Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})$。展开这个表达式，然后对$\hat{\beta}$求导，设导数为零，解方程得到$\hat{\beta}$的表达式。 这里需要注意矩阵微分的规则，比如对$\hat{\beta}$求导时，导数的计算是否正确。例如，$\frac{\partial}{\partial \beta} (Y'Y - 2Y'X\beta + \beta'X'X\beta)$的结果应该是$-2X'Y + 2X'X\beta$。然后令导数等于零，得到正规方程$X'X\hat{\beta} = X'Y$，进而得到$\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$，前提是$X'X$可逆。 在推导过程中，是否需要考虑$X$矩阵的满秩条件？用户可能知道这个假设，但需要明确说明，避免后续误解。比如，如果存在多重共线性，$X'X$可能不可逆，这时候需要处理，但用户的问题可能只需要标准情况下的推导。 另外，用户提供的引用[1]提到最小二乘法和分类与回归的区别，但当前问题聚焦于回归的矩阵推导，所以可能不需要深入讨论分类问题，但可以简要提及作为背景。 需要检查步骤是否清晰，比如是否分步展示残差平方和的展开、求导过程、解方程等。用户可能需要详细的数学步骤，而不仅仅是结果，因此推导过程必须详细且准确。 同时，是否需要验证二阶条件确保是最小值？可能简要提到，因为目标函数是凸函数，所以临界点即为最小值点。 最后，用户可能需要一个代码示例来验证矩阵形式的计算结果，比如使用Python的numpy库实现，或者使用statsmodels库，这样能帮助理解理论推导的实际应用。之前的回答中已经有一个Python示例，可能需要调整以突出矩阵运算的部分。 总结思考步骤： 1. 设定多元线性回归模型为矩阵形式。 2. 定义残差平方和并写成矩阵表达式。 3. 对参数向量求导并得到正规方程。 4. 解正规方程得到参数估计的矩阵表达式。 5. 验证二阶条件确保最小化。 6. 可能的代码示例和假设条件说明。 需要确保数学符号正确，特别是矩阵转置和乘法的顺序，避免出现维度错误。例如，$\beta$是列向量，$X$是设计矩阵，$Y$是响应变量的列向量，维度要对应正确。 另外，引用之前的回答中的内容，比如参数估计的协方差矩阵，可能不需要在此处展开，但可以提及后续应用中的相关概念，比如预测方差中的使用。 可能的问题点：用户是否熟悉矩阵微分的规则？是否需要简要解释？或者直接应用结果，如$\frac{\partial (a'\beta)}{\partial \beta} = a$，$\frac{\partial (\beta'A\beta)}{\partial \beta} = 2A\beta$（当A对称时）？ 需要明确写出这些微分步骤，以确保推导的透明性。此外，是否需要处理矩阵的转置和乘积的展开，例如展开$e'e$的过程？ 确保所有步骤符合LaTeX格式要求，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$，并正确标注引用，如引用[^2]关于矩阵形式的模型设定。</think>### 多元线性回归最小二乘法矩阵形式推导 --- #### **1. 模型设定** 多元线性回归模型矩阵形式为： $$ Y = X\beta + \epsilon $$ 其中： - $Y$ 是 $n \times 1$ 的因变量观测向量 - $X$ 是 $n \times (p+1)$ 的设计矩阵（包含截距项） - $\beta$ 是 $(p+1) \times 1$ 的未知参数向量 - $\epsilon$ 是 $n \times 1$ 的随机误差向量，满足 $\epsilon \sim N(0, \sigma^2 I)$ --- #### **2. 最小二乘目标函数** 目标是最小化**残差平方和**（SSE）： $$ SSE = \sum_{i=1}^n \epsilon_i^2 = \epsilon'\epsilon = (Y - X\beta)'(Y - X\beta) $$ 展开后得： $$ SSE = Y'Y - 2Y'X\beta + \beta'X'X\beta $$ --- #### **3. 对参数向量求导** 对 $\beta$ 求偏导并令导数为零： $$ \frac{\partial SSE}{\partial \beta} = -2X'Y + 2X'X\beta = 0 $$ 解得**正规方程**： $$ X'X\beta = X'Y $$ --- #### **4. 参数估计的矩阵解** 假设 $X'X$ 可逆（需满足 $X$ 列满秩），则参数估计值为： $$ \hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y $$ **几何解释**：$\hat{Y} = X\hat{\beta}$ 是 $Y$ 在 $X$ 列空间上的正交投影[^1]。 --- #### **5. 二阶条件验证** 目标函数的二阶导数为： $$ \frac{\partial^2 SSE}{\partial \beta \partial \beta'} = 2X'X $$ 由于 $X'X$ 正定（假设无多重共线性），临界点为全局最小值。 --- #### **6. 推导流程图解** $$ \begin{aligned} \text{模型} & \Rightarrow \text{残差平方和} \Rightarrow \text{求导} \\ & \Rightarrow \text{正规方程} \Rightarrow \hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y \end{aligned} $$ --- ### **代码验证（Python示例）** ```python import numpy as np # 生成数据 n = 100 p = 3 X = np.column_stack([np.ones(n), np.random.randn(n, p)]) # 含截距项 beta_true = np.array([2, -1, 0.5, 1.2]) Y = X @ beta_true + np.random.normal(0, 0.5, n) # 最小二乘估计 XTX = X.T @ X XTX_inv = np.linalg.inv(XTX) beta_hat = XTX_inv @ (X.T @ Y) print("真实参数:", beta_true) print("估计参数:", np.round(beta_hat, 4)) ``` --- ### **关键假设** 1. **列满秩**：$X'X$ 可逆（无完全多重共线性） 2. **线性关系**：$Y$ 与 $X$ 的线性组合成比例 3. **误差独立同分布**：$\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$ --- ### 相关问题 1. **如何证明最小二乘估计量是最优线性无偏估计（BLUE）？** 需验证无偏性（$E(\hat{\beta}) = \beta$）、有效性（方差最小）、一致性（Gauss-Markov定理）[^2]。 2. **当 $X'X$ 不可逆时如何处理？** 使用正则化（如岭回归）或主成分回归（PCR）解决多重共线性问题。 3. **加权最小二乘法的矩阵形式如何推导？** 引入权重矩阵 $W$，目标函数变为 $\epsilon'W\epsilon$，解为 $\hat{\beta} = (X'WX)^{-1}X'WY$。 : 线性投影的几何意义与最小二乘关系 : Gauss-Markov定理的条件与应用
评论 21
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值