动态规划经典入门级题目*2及详解

题目来自极客学院的视频教程-动态规划（一）

一句话解释动态规划：多阶段最优化决策解决问题的过程

解题技巧：只关注状态转移（子问题之间的关系），不要考虑某个状态是怎么出现的

1.字符串解码

一个只包含大写字母的字符串加密后变成了只包含数字的字符串，加密的规则：

'A' -> 1

'B' -> 2

...

'Z' -> 26

现在给定一个只包含数字的加密过的字符串，求该字符串有多少种解密的方法。例如“12”->"AB", "12"->"L"

解：2位的在26以内的相邻的数可以产生不同的解，字符串用str表示，用一维数组dp[i]来表示从0到i位解码方法总数，dp[0]=1，想从dp[i]得到dp[i+1]：

1.str[i+1]是‘0’，那么他不能单独译成一个字母，一定是和str[i]组合，dp[i+1] = dp[i-1]

2.str[i+1]不是‘0’：  

   1）str[i]和str[i+1]位不能组成一个字母，将str[i+1]解码为对应的字母，dp[i+1] = dp[i]

   2）str[i]和str[i+1]可以组和译成一个字母，则在这里就可以出现2种解码方法，如果单独译dp[i+1]，有dp[i]种方法，如果组合起来，有dp[i-1]种方法，那么dp[i+1] = dp[i]+dp[i-1]

代码：

int Decode_num(string& str) {
    int len = str.length();
    int *dp = new int[len];
    dp[0] = 1;
    if (str[1] == '0') dp[1] = 1;
    else if (str[0] == '1' || (str[0] == '2' && str[1] <= '6')) dp[1] = 2;
    else dp[1] = 1;
    for (int i = 1; i < len-1; i++) {
	if (str[i+1] == '0') dp[i+1] = dp[i-1];
        else if (str[i] == '1' || (str[i] == '2' && str[i+1] <= '6')) dp[i+1] = dp[i] + dp[i-1];
        else dp[i+1] = dp[i];
    }
    return dp[len-1];
}

2.最大子数组乘积

给定一个整数数组，求乘积最大的子数组的乘积值

解：

1）首先明确数组中的数可能是负数

2）设数组是vec[]，这里我们在for循环中用一个max和min值分别记录包含0～i中包含vec[i]的子数组的乘积的最大值和最小值，为什么一定是包含vec[i]呢，因为只有在这个定义之下，我们才能由i计算到i+1

3）那么包含vec[i]的子数组乘积的最大值就是vec[i]，vec[i]*max，vec[i]*min中的最大值(当min和vec[i]同为负，相乘得到最大值)，更新max值

4）循环中同时更新min，min就是vec[i]，vec[i]*max，vec[i]*min中的最小值

5）返回的结果max_product，是以0～size-1结尾的子数组乘积最大值的最大值

代码：

int Max_product(vector<int>& vec) {
    int size = vec.size();
    int max_product = vec[0];
    int _min = vec[0];
    int _max = vec[0];
    for (int i = 1; i < size; i++) {
        int copy_max = _max;
        _max = max(max(vec[i], vec[i]*_max), vec[i]*_min);
        _min = min(min(vec[i], vec[i]*_min), vec[i]*copy_max);
        max_product = max(max_product, _max);
    }
    return max_product;
}