蓝桥杯 跳蚱蜢

通过广度优先搜索算法解决蚱蜢从顺时针排列变为逆时针排列的问题,并保持空盘位置不变,最少需要20次跳跃。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

如图 p1.png 所示: 
有9只盘子,排成1个圆圈。
其中8只盘子内装着8只蚱蜢,有一个是空盘。
我们把这些蚱蜢顺时针编号为 1~8


每只蚱蜢都可以跳到相邻的空盘中,
也可以再用点力,越过一个相邻的蚱蜢跳到空盘中。


请你计算一下,如果要使得蚱蜢们的队形改为按照逆时针排列,
并且保持空盘的位置不变(也就是1-8换位,2-7换位,...),至少要经过多少次跳跃?


注意:要求提交的是一个整数,请不要填写任何多余内容或说明文字。



解:广搜,answer:20

#include <iostream>
#include <string>
#include <set>
#include <queue>
#include  <utility>
using namespace std;

string start = "012345678";
string e = "087654321";
int main() {
	queue<pair<string, int> > q;
	q.push(make_pair(start, 0));
	set<string> s;
	s.insert(start);
	while (!q.empty()) {
		string a = q.front().first;
		int level = q.front().second;
		if (a == e) {
			cout << level;
			break;
		}
		q.pop();
		int pos = 0;
		while (a[pos] != '0') pos++;
		int posi[4];
		posi[0] = (pos+8)%9;
		posi[1] = (pos+1)%9;
		posi[2] = (pos+7)%9;
		posi[3] = (pos+2)%9;
		for (int i = 0; i < 4; i++) {
			string b = a;
			b[pos] = b[posi[i]];
			b[posi[i]] = '0';
			if (s.count(b) == 0) {
				s.insert(b);
				q.push(make_pair(b, level+1));
			}
		}
	}
	return 0;
}


### 蚱蜢算法代码解析 蚱蜢问题的核心在于通过二分查找来确定最大的最小跃距离。以下是详细的分析和解释: --- #### 1. **问题背景** 该问题是经典的“河中石头”变种问题,目标是在给定的石头位置集合中找到一个合适的最小跃距离 $d$,使得移除不超过 $m$ 块石头后,青蛙可以从起点成功到终点[^1]。 --- #### 2. **核心逻辑** - 使用二分法逐步逼近最优解。 - 定义两个边界:`L` 和 `R`,分别代表可能的最小跃距离的上下界。 - 对于每次尝试的距离 $ \text{mid} = (\text{L} + \text{R}) / 2 $,验证是否存在一种方案使青蛙能够在移除最多 $m$ 块石头的情况下完成跃。 - 如果可行,则更新下界 $ \text{L} = \text{mid} $;否则缩小上界 $ \text{R} = \text{mid} - 1 $。 --- #### 3. **函数详解** ##### 函数 `Delete(int x)` 此函数用来计算在设定的最小跃距离为 $x$ 的情况下,需要移除多少块石头才能满足条件。 ```cpp int Delete(int x){ int f = 0, cnt = 0; for(int i = 1; i <= n; i++){ if(a[i] - a[f] < x){ // 当前石块与最近可用石块之间的距离小于x cnt++; // 记录需要移除的石块数 } else{ f = i; // 更新最近可用石块的位置 } } return cnt <= m; // 判断是否可以在移除不超过m块石块的情况下完成跃 } ``` - 参数 $x$: 尝试的最小跃距离。 - 返回值: 若能在移除不超过 $m$ 块石头的前提下完成跃,返回 true;否则返回 false。 --- #### 4. **主函数流程** ```cpp #include <iostream> using namespace std; long long l, n, m, a[50005], L, R; int main(){ cin >> l >> n >> m; // 输入河流长度、石头数量、允许的最大移除石头数 for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; // 输入每块石头的位置 a[++n] = l; // 添加终点作为最后一块石头 L = 0, R = l; // 初始化二分查找的区间 [L, R] while(L < R){ int mid = (L + R + 1) / 2; // 取中间值作为新的候选最小跃距离 if(Delete(mid)){ L = mid; // 如果当前候选距离可行,则增大下界 } else{ R = mid - 1; // 否则减小上界 } } cout << L; // 输出最终的最大化最小跃距离 return 0; } ``` - 主要操作是对数组 `a[]` 进行处理,并利用二分查找不断调整最小跃距离直到收敛至最佳解。 --- #### 5. **复杂度分析** - 时间复杂度: $O(n \log(l))$ - 外层循环执行 $\log(l)$ 次(由二分决定)。 - 内部遍历整个石头列表的时间复杂度为 $O(n)$。 - 空间复杂度: $O(n)$,主要用于存储石头位置。 --- #### 6. **注意事项** - 输入数据应按升序排列,确保相邻两块石头间的距离计算无误。 - 边界情况需特别注意,例如当所有石头都必须保留时如何处理。 --- ### 示例运行过程 假设输入如下: ``` l = 25, n = 5, m = 2 stones = [2, 11, 14, 17, 21] ``` 初始状态: $$ \text{L} = 0,\ \text{R} = 25 $$ 第一次迭代 ($\text{mid} = 13$): - 删除不可达的石头 `[2, 11, 14]`,共移除 3 块石头 (> m),因此降低上界 $ \text{R} = 12 $. 第二次迭代 ($\text{mid} = 7$): - 删除不可达的石头 `[2, 11]`,共移除 2 块石头 (= m),保持下界 $ \text{L} = 7 $. 第三次迭代 ($\text{mid} = 10$): - 删除不可达的石头 `[2, 11]`,共移除 2 块石头 (= m),保持下界 $ \text{L} = 10 $. 最终输出最大化的最小跃距离为 10。 --- ### 结论 通过上述方法可以有效解决蚱蜢问题,关键是合理运用二分查找并结合实际需求调整参数范围[^1]。 ---
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