隐马尔科夫模型HMM

应用

隐马尔科夫模型(HMM,Hidden Markov Model)可用标注问题，在语音识别、NLP、生物信息、模式识别等领域被实践证明是有效的算法。

定义

隐马尔科夫模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔科夫链随机生成不可观测的状态的序列，再由各状态随机生成一个观测而产生观测序列的模型（参考李航的《统计学习方法》第10章）。
隐马尔科夫模型随机生成的状态随机序列，称为状态序列；每个状态生成一个观测，由此产生的观测随机序列，称为观测序列。

Q是所有可能的状态的集合，V是所有可能的观测的集合

$$Q= \{q_1,q_2, ,...,q_N\}, V=\{v_1,v_2,...,v_M\}$$
其中，N是可能的状态数，M是可能的观测数
Q是未知的，V是已知的，我们通过对V来做Q的推论，就是隐马尔科夫模型。

组成

HMM由初始状态概率向量π 、状态转移概率矩阵A以及观测概率矩阵B确定。

$$\lambda=(A,B,\pi)$$

HMM的概率计算算法

直接计算

按照概率公式，通过列举所有可能的长度为T的状态序列$I=\{i_1,i_2,...,I_T\}$,求各个状态序列I与观测序列$O=\{o_1,o_2,...o_T\}$的联合概率$P(O,I|\lambda)$，然后对所有可能的状态序列求和，得到$P(O,I)$

前向计算

定义：给定隐马尔可夫模型λ，定义到时刻t部分观测序列为o₁,o₂,…,o_t，且状态为q_i的概率为前向概率，记作

$$\alpha(i)=P(o_1,o_2,...,o_t,i_t=q_i|\lambda)$$
可以递归地求得前向概率α_t(i)以及观测序列概率P(O|λ)
前向计算的计算过程：
初值：$\alpha_1(i)=\pi_ib_i(o_1)$,i=1,2,…,N
递推：对t=1,2，…,T-1
$$\alpha_{t+1}(i)=[\sum_{j=1}^{N}{\alpha_t(j)a_{ji}}]b_i(o_{t+1}),i=1,2,...N$$
终止：
$$P(O|\lambda)=\sum_{i=1}^{N}{\alpha_T(i)}$$

后向计算

定义：给定隐马尔可夫模型λ，定义到时刻t状态为q_i的条件下，从t+1到T的部分观测序列为o_t+1,o_t+2,…,o_T的概率为后向概率，记作

$$\beta(i)=P(o_{t+1},o_{t+2},...,o_T,i_t=q_i，\lambda)$$
可以用递归的方法 求得后向概率β_t(i)以及观测序列概率P(O|λ)
后向计算的计算过程：
初值：$\beta_T(i)=1$
递推：对t=T-1,t=T-2，…,1
$$\beta_{t}(i)=\sum_{j=1}^{N}{a_{ij}b_j(o_{t+1})\beta_{t+1}(j)},i=1,2,...N$$
终止：
$$P(O|\lambda)=\sum_{i=1}^{N}{\pi_ib_i(o_1)\beta_1(i)}$$