剪绳子

最新推荐文章于 2020-06-25 15:54:59 发布

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#动态规划 #贪心算法

探讨了绳子剪切问题的两种算法解决方案——动态规划和贪心算法。动态规划通过构建状态转移方程逐步求解，而贪心法则遵循特定的剪切策略。文章详细解释了每种方法的实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

给定一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]* k[1] * … *k[m]可能的最大乘积是多少？例如长度为8的绳子，可以剪成2，3，3段，最大乘积为18。
此题提供动态规划和贪心算法两种解法：

动态规划

假设f(n)为长度为n的绳子剑成若干段后的最大乘积。那么如果我们只剪一刀，该绳子就会分为两部分，假设在i上剪断，我们再求出这两部分绳子的最大乘积f(i)，f(n-i)。然后不断以相同的方式进行分割，可以得到f(n)=max(f(i)*f(n-i))。
我们可以用递归求出来，因为这是一个自上而下的式子，但递归有许多重复的计算，效率低。这题我们采用自下而上的方式，用动态规划来做。f(1)，f(2)，f(3)都很容易得到，然后我们可以推出f(4)，f(5)，然后一直往后推出至f(n)。

public int cutting(int length) {
		//考虑到至少要剪两刀(m>1)，先将剪后的f(n)<n的情况作为特例排除
	    if(length<2)
	    	return 0;
	    if(length==2)
	    	return 1;
	    if(length==3)
	    	return 2;
	    int max=0;//存储当前最大的f(n)
	    int[] array = new int[length+1];//array[n] = f[n]
	    array[0]=0;
	    array[1]=1;
	    array[2]=2;
	    array[3]=3;
	    for(int i=4;i<=length;i++) {
	    	for(int f=1;f<=i/2;f++) {//绳子只需要剪前一半的就可以，剪i和剪n-i是一回事
	    		int pro = array[f]*array[i-f];
	    		if(pro>max)
	    			max=pro;
	    		array[i]=max;
	    	}
	    }
	    return array[length];
	}

贪心算法

当n<=3时，不再进行剪切，因为会比n小。
当n==4时，将n=2*2，因为只有两种剪法，剪成1，3比较小。
当n>=5时，我们要把所有的绳子都剪成2或者3，同时我们要尽可能的多剪长度为3的绳子，因为3(n-3)>=2(n-2)，当剩余的小于5时就没有必要再剪。

public int cutting1(int length) {
		if(length<2)
			return 0;
		if(length==2)
			return 1;
		if(length==3)
			return 2;
		if(length==4)
			return 4;
		int max=1;
		while(length>=5) {
			length-=3;
			max*=3;
		}
		if(length!=0)
			max*=length;
		return max;
	}