牛客竞赛算法周练阶乘(数论，二分答案)

最新推荐文章于 2024-10-06 18:54:54 发布

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本文介绍了一种求解n!中包含特定数p的最小n值的方法，通过将p分解为素数乘积，利用二分搜索在1到p范围内找到满足条件的最小n值。文章详细解释了算法思路，并提供了C++实现代码。

题目链接
在这里插入图片描述
思路:
首先，如果n!中包含了p这个数，那肯定p就直接整除n!了。这样我们就可以确定这个n最多为p了。但是他是要求最小的，这里就要用到最小分解定理
。把p这个数分成素数乘积形式，为什么呢?你可以想想，既然要求n最小，那么我们就先把p分到最简。比如;48 分成2 * 2 * 2 * 2 * 3。如果n!中的数(1到n)能够分成至少4个2和至少一个3的乘积形式，那么不就说明这个n能够满足条件吗?那么我们可以知道，这个答案是有序的，所以我们可以二分，也可称作二分答案。

接下来就是代码的操作了，详情看代码注释
AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll arr[N],num[N],m = 0;
bool cmp(ll mid)
{
    for(int i = 0;i < m;i++)
    {
        ll sum = 0,ans = mid;
        while(ans)
        {
            sum += ans/arr[i];
 //最开始没有想懂这里，但是我们写个例子就很容易明白了
 //假如p = 48，mid = 24
 //48中有一个3
 //1到24中有3 6 9 12 15 18 21 24
 //3 = 3 * 1  6 = 3 * 2   9 = 3 * 3  12 = 3 * 4
 //15 = 3 * 5  18 = 3 * 3 * 2  21 = 3 * 7  24 = 3 * 8
 //24/3 = 8，sum += 8 ， 24 /= 3
 //8/3 = 2 ，sum += 2 ， 8 /= 3
 //这里可以方便的算，1到n中有多少个3(我把他叫做最小分解定理的推理，这是博主的叫法哈，不标准，其实就是个小结论)
            ans /= arr[i];
        }
        if(sum < num[i]) return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        fill(arr,arr+N,0);
        fill(num,num+N,0);
        m = 0;
        ll p,Min = INF;
        cin >> p;
        ll l = 1,r = p;//答案在1到p之间
        for(int i = 2;i * i <= p;i++)//先把p分成素数乘积形式
        {
            if(p % i == 0)
            {
                arr[m++] = i;
                while(p % i == 0)
                {
                    num[m-1]++;
                    p /= i;
                }
            }
        }
        if(p > 1)
        {
            arr[m++] = p;
            num[m-1]++;
        }
        while(l <= r)//二分答案
        {
            ll mid = (l+r)/2;
            if(cmp(mid))
                r = mid - 1;
            else
                l = mid + 1;
        }
        cout << l << endl;
    }
}