最长公共子序列
最长公共子序列问题我们用 i i i表示字符串 A A A的前 i i i个字符, j j j表示字符串 B B B的前 j j j个字符, f [ i , j ] f[i,j] f[i,j]表示前 i i i个字符和前 j j j个字符中的公共子序列的最大长度,对于以 a [ i ] , b [ j ] a[i],b[j] a[i],b[j]结尾的子序列,一共有四种情况,分别为包含或者不包含 a [ i ] , b [ j ] a[i], b[j] a[i],b[j],那么 f [ i , j ] f[i,j] f[i,j]可以由 f [ ] i − 1 , j − 1 ] , f [ i − 1 , j ] , f [ i , j − 1 ] , f [ i − 1 , j − 1 ] + 1 f[]i-1,j-1],f[i -1, j], f[i, j - 1], f[i - 1, j- 1] + 1 f[]i−1,j−1],f[i−1,j],f[i,j−1],f[i−1,j−1]+1四种情况求最大值可得到,其中 f [ i − 1 , j − 1 ] f[i-1,j-1] f[i−1,j−1]的情况包含在了 f [ i − 1 , j ] , f [ i , j − 1 ] f[i -1, j], f[i, j - 1] f[i−1,j],f[i,j−1]两种情况中,注意子序列中含 a [ i ] a[i] a[i],不含 b [ j ] b[j] b[j]的情况包含在了 f [ i , j − 1 ] f[i,j-1] f[i,j−1]中,但两者并不相等。因为是求最大值,所以可以有重复的情况,只要求得所有情况的最大值即可。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
for(int i = 1; i <= m; i ++) cin >> b[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i - 1][j]);
if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
最短编辑距离
最短编辑距离类似于公共子序列问题,我们对于将
a
[
1
i
]
a[1~i]
a[1 i]变成
b
[
1
j
]
b[1~j]
b[1 j]一共有三种方式,删除当前
a
[
i
]
a[i]
a[i]使得其相等,等价于
f
[
i
−
1
,
j
]
+
1
f[i-1,j] + 1
f[i−1,j]+1;增加一个数使得其相等,则增加的数一定的
b
[
j
]
b[j]
b[j],等价于求
f
[
i
,
j
−
1
]
+
1
f[i,j-1] + 1
f[i,j−1]+1,此时注意,增加操作是使得
a
[
1
i
]
a[1~i]
a[1 i]与
b
[
1
j
]
b[1~j]
b[1 j]相等;修改操作需要判断当前的
a
[
i
]
a[i]
a[i]与
b
[
j
]
b[j]
b[j]是不是相等,若相等则不用修改,不相等则需要修改。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
cin >> m;
for(int j = 1; j <= m; j ++) cin >> b[j];
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
f[i][j] = 1e9;
for(int i = 1; i <= n; i ++) f[i][0] = i;
for(int i = 1; i <= m; i ++) f[0][i] = i;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
if(a[i] != b[j]) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
else f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
}
}
int s = f[n][m];
cout << s << endl;
return 0;
}