3、正实函数与网络传输反射系数相关知识解析

正实函数与网络传输反射系数相关知识解析

1. 正实矩阵相关概念

在研究 n 端口网络时，我们需要将正实函数的概念扩展到正实矩阵。在此之前，先回顾一下厄米特矩阵以及正定和非负定的概念。
- 厄米特矩阵 ：一个 n x n 矩阵 F 若满足 (F = F^ )（其中 * 表示矩阵转置和共轭运算），则称 F 为厄米特矩阵。
- 正定矩阵 ：一个 n x n 的厄米特矩阵 F，若对于所有非零的复 n 维向量 X，都有 (X^ FX > 0)，则称 F 为正定矩阵。
- 非负定矩阵 ：一个 n x n 的厄米特矩阵 F(s)，若对于所有非零的复 n 维向量 X，都有 (X^*FX \geq 0)，则称 F(s) 为非负定矩阵。

直接根据定义来测试矩阵的正定或非负定性是冗长且繁琐的，下面我们介绍基于给定厄米特矩阵元素的简单等效测试准则。
在一个 n 阶矩阵 F 中，r 阶主子式是由行 (i_1, i_2, \cdots, i_r) 和列 (i_1, i_2, \cdots, i_r) 组成的 r x r 子矩阵的行列式。r 阶顺序主子式是由前 r 行和前 r 列组成的子矩阵的行列式。例如，对于一个 3 x 3 矩阵：
[
F =
\begin{bmatrix}
f_{11} & f_{12} & f_{13} \
f_{21} & f_{22} & f_{23} \
f_{31} & f_{32} & f_{33}