Eigen之SelfAdjointEigenSolver

Eigen::SelfAdjointEigenSolver 是 Eigen 库中的一个类，用于计算自伴随矩阵（对称矩阵）的特征值和特征向量。自伴随矩阵是指其等于自身的共轭转置的矩阵，通常在物理和工程中出现，比如协方差矩阵、赫尔米特矩阵等。

常用用法：

1. 计算特征值和特征向量：
   SelfAdjointEigenSolver 类提供了一种高效的方法来计算自伴随矩阵的特征值和特征向量。它的结果是特征值按升序排列，特征向量组成的矩阵也可以很方便地获得。

使用步骤：

1. 包含头文件：

在使用 SelfAdjointEigenSolver 前，首先需要包含 Eigen 的相关头文件：

#include <Eigen/Dense>

2. 定义矩阵并计算特征值和特征向量：

假设我们有一个自伴随矩阵 A，可以通过如下方式使用 SelfAdjointEigenSolver 计算其特征值和特征向量：

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
  // 定义一个 3x3 对称矩阵
  Eigen::Matrix3d A;
  A << 1, 2, 3,
       2, 5, 4,
       3, 4, 6;

  // 创建 SelfAdjointEigenSolver 对象并计算特征值和特征向量
  Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix3d> solver(A);

  // 检查计算是否成功
  if (solver.info() != Eigen::Success) {
    std::cerr << "Eigenvalue decomposition failed!" << std::endl;
    return -1;
  }

  // 输出特征值
  std::cout << "Eigenvalues: \n" << solver.eigenvalues() << std::endl;

  // 输出特征向量
  std::cout << "Eigenvectors: \n" << solver.eigenvectors() << std::endl;

  return 0;
}

3. 结果解释：

• solver.eigenvalues()：返回的是一个向量，包含了矩阵 A 的特征值，按升序排列。
• solver.eigenvectors()：返回的是一个矩阵，每一列代表一个与特征值相对应的特征向量。

函数详解：

1. 构造函数：

   • SelfAdjointEigenSolver()：默认构造函数，不执行任何计算。
   • SelfAdjointEigenSolver(const MatrixType& matrix)：通过给定的矩阵执行特征分解。

2. compute 函数：

   • compute(const MatrixType& matrix)：如果你使用默认构造函数，可以通过调用 compute 来执行特征值和特征向量的计算。
   • 例子：

     Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix3d> solver;
     solver.compute(A);
     

3. 获取结果：

   • eigenvalues()：返回一个包含特征值的向量。
   • eigenvectors()：返回一个包含特征向量的矩阵，每列为一个特征向量。

4. 检查计算结果：

   • info()：用于检查计算是否成功，返回 Eigen::Success 表示成功。

   例子：

   if (solver.info() != Eigen::Success) {
     std::cerr << "Eigenvalue computation failed!" << std::endl;
   }
   

注意事项：

• 对称矩阵：SelfAdjointEigenSolver 只适用于对称矩阵或自伴随矩阵。如果矩阵不是对称的，结果将不正确。
• 数值稳定性：由于 SelfAdjointEigenSolver 利用了对称矩阵的特性，其计算效率和数值稳定性都要优于普通的特征值求解方法。