洛谷-4035 [JSOI2008]球形空间产生器

最新推荐文章于 2022-05-31 20:16:26 发布

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本文介绍了一种快速确定n维球体球心坐标的算法，通过利用n+1个球面上点的坐标，使用高斯消元法求解线性方程组，适用于多维空间中的球体定位问题。

题目描述
有一个球形空间产生器能够在 n 维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个 n 维球体中，你只知道球面上 n+1 个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个 n 维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。
输入格式
第一行是一个整数 n (1<=N=10)。接下来的 n+1 行，每行有 n 个实数，表示球面上一点的 n 维坐标。每一个实数精确到小数点后 66 位，且其绝对值都不超过 20000。
输出格式
有且只有一行，依次给出球心的 n 维坐标（ n 个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后 33 位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

输入输出样例
输入 #1 复制
2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

输出 #1 复制
0.500 1.500

说明/提示
提示：给出两个定义：
球心：到球面上任意一点距离都相等的点。
距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为 $(a1,a2,⋯ ,an)(a_1, a_2, \cdots , a_n)$ , $(b1,b2,⋯ ,bn)(b_1, b_2, \cdots , b_n)$ ，则AB的距离定义为：
$=\sqrt{ (a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2 }$

解释：高斯消元，
$∑j=1n(ai,j−an+1,j)2=0,等价于∑i=1n2∗(xm,i−xn+1,i)=∑i=1nxm,i2−∑i=1nxn+1,i2\sum_{j=1}^n(a_{i,j}-a_{n+1,j})^2=0,等价于\sum_{i=1}^n2*(x_{m,i}-x_{n+1,i})=\sum_{i=1}^nx_{m,i}^2-\sum_{i=1}^nx_{n+1,i}^2$
转换完毕后，直接上模板就OK

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 105
using namespace std;
double a[N][N]={0};
double X[N]={0};
double b[N][N]={0}; 
int n=0;
bool guess(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int max_index=i;
        for(int j=i;j<=n;j++) if(a[j][i]>a[max_index][i]) max_index=j;
        if(fabs(a[max_index][i])<1e-5) return 0;
        for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[max_index][j]);
        for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=i) for(int k=n+1;k>=i;k--) a[j][k]-=a[j][i]/a[i][i]*a[i][k];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) X[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
    return 1;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n+1;i++) for(int j=1;j<=n;j++) cin>>b[i][j];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			a[i][j]=2*(b[i][j]-b[n+1][j]);
			a[i][n+1]+=b[i][j]*b[i][j]-b[n+1][j]*b[n+1][j];
		}
	}
	guess();
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.3lf ",X[i]);
    return 0;
}