洛谷-3973 [TJOI2015]线性代数

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本文探讨了一道将线性代数与图论相结合的问题，即通过构造特定的01矩阵来最大化特定矩阵表达式的值。文章详细解析了问题背景，输入输出格式，以及使用最小割算法解决此问题的全过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
为了提高智商,ZJY开始学习线性代数。她的小伙伴菠萝给她出了这样一个问题:给定一个n×n的矩阵B和一个1×n的矩阵C。求出一个1×n的01矩阵A。使得 $D=(A×B−C)×ATD=(A×B-C)×A^{\sf T}$
最大,其中 $ATA^{\sf T}$
为A的转置。输出D。
输入格式
第一行输入一个整数n。接下来n行输入B矩阵,第i行第j个数代表B接下来一行输入n个整数,代表矩阵C。矩阵B和矩阵C中每个数字都是不过1000的非负整数
输出格式
输出一个整数,表示最大的D。

输入输出样例
输入 #1
3
1 2 1
3 1 0
1 2 3
2 3 7

输出 #1
2
说明/提示

数据范围
对于 30% 的数据，1 ≤ n ≤ 15
对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 500

解释：可以化简为
$D=(A*B-C)*A^T$
$=∑i=1n(∑j=1nAj∗Bj,i−Ci)∗Ai=\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{n}A_j*B_{j,i}-C_i)*A_i$
$=∑i=1n∑j=1nAi∗Aj∗Bi,j−∑i=1nCi∗Ai=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_i*A_j*B_{i,j}-\sum_{i=1}^{n}C_i*A_i$
因为题目已经说明了A是一个01串,所以我们可以发现当 $A_i$
显然为最大权闭合子图模型，套路建图求最小割即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e6+6,inf=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
    int s=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s;
}
int n;
int b[505][505],c[505],id[505][505];
struct edge{
    int to,w,rev;
};
int d[M],cur[M];vector<edge> G[M];
int s,t,tot=0;
queue<int> q;
inline int bfs(){
    memset(d,-1,sizeof(d));
    d[s]=0,q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=0;i<G[u].size();i++){
        	edge e=G[u][i];
            if(e.w>0&&d[e.to]<0){
                d[e.to]=d[u]+1;
                q.push(e.to);
            }
        }
    }
    return d[t]!=-1;
}
int dfs(int u,int f){
    if(u==t) return f;
    int w,tot=0;
    for(int &i=cur[u];i<G[u].size();i++){
        edge &e=G[u][i];
        if(e.w>0&&d[e.to]==d[u]+1&&(w=dfs(e.to,min(e.w,f)))){
            e.w-=w;G[e.to][e.rev].w+=w;
            f-=w,tot+=w;
            if(f<=0) break;
        } 
    }
    return tot;
}
inline void add_edge(int u,int v,int c){
    G[u].push_back({v,c,G[v].size()});
    G[v].push_back({u,0,G[u].size()-1});
}
inline int dinic(){
    int flow=0;
    while(bfs()){
        memset(cur,0,sizeof(cur));
        flow+=dfs(s,inf);
    }
    return flow;
}
int ans=0;
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        for(int j=1;j<=n;j++)
            b[i][j]=read(),id[i][j]=++tot,ans+=b[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
    s=0,t=M-6;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++){
        	add_edge(id[i][j],tot+i,inf);
        	if(i!=j){
        		add_edge(s,id[i][j],b[i][j]+b[j][i]);
        		add_edge(id[i][j],tot+j,inf);
			}else{
				add_edge(s,id[i][j],b[i][j]);
			}
        }
    for(int i=1;i<=n;i++) add_edge(tot+i,t,c[i]);
    printf("%d",ans-dinic());
    return 0;
}