洛谷-5160 WD与循环

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本文介绍了一种解决复杂多重循环计数问题的方法，通过数学组合原理和Lucas定理，实现了高效计算满足特定条件的循环组合数量。适用于大规模数据处理和算法优化场景。

题目描述
这天，WD蒟蒻为了解决一个小问题写了个很长很长的for循环：
int cnt = 0;
for (int a_1 = 0; a_1 <= m; a_1++) {
for (int a_2 = 0; a_1 + a_2 <= m; a_2++) {
…
for (int a_n = 0; a_1 + a_2 + … + a_n <= m; a_n++) {
cnt = (cnt + 1) % 19491001;
}
}
}
printf("%d\n", cnt);
CX过来看了一眼，说：**WD你个笨蛋，这道题不是SB题吗？**WD一脸懵逼，只好请你来教教他啦…
…

输入格式
第一行一个数T，表示数据组数。接下来每行两个数n,m，分别表示循环重数和每层循环的上界。

输出格式
共TT行，每行一个数表示答案。

输入输出样例
输入 #1
2
2 9
10 14

输出 #1
55
1961256

说明/提示
n,m≤10¹⁸, 1≤T≤100,000

解释：很明显模型为
$a1+a2,...an≤ma_1+a_2,...a_n \le m$ 的个数
则 $a_1+a_2...,a_n=m$ 为
$C_{n+m-1}^{n-1}$
$ans=∑i=0MCn−1+in−1ans=\sum\limits_{i=0}^MC_{n-1+i}^{n-1}$
又
$∑i=0MCN−1+iN−1=CN+MM\sum\limits_{i=0}^MC_{N-1+i}^{N-1}=C_{N+M}^M$
直接上LUCAS

#include<iostream>
using namespace std;
const int MOD=19491001;
long long fac[MOD+1]={};
void gf(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<MOD;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    }
}
long long pw(long long a,long long n){
    a%=MOD;
    long long ans=1;
    while(n){
        if(n&1){
            ans=ans*a%MOD;
        }
        a=a*a%MOD;
        n/=2;
    }
    return ans;
}
long long C(long long n,long long k){
    if(k>n){
        return 0;
    }
    return fac[n]*(pw(fac[k]*fac[n-k]%MOD,MOD-2))%MOD;
}
long long lucas(long long n,long long m){
    return m?lucas(n/MOD,m/MOD)%MOD*C(n%MOD,m%MOD)%MOD:1;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
    int t=0;
    cin>>t;
    gf();
    long long n=0,m=0;
    while(t--){
        cin>>n>>m;
        cout<<lucas(n+m,n)<<endl;
    }
    return 0;
}