5、量子傅里叶变换与Shor因式分解算法深度解析

量子傅里叶变换与Shor因式分解算法深度解析

1. 量子傅里叶变换（QFT）基础

量子傅里叶变换（QFT）在量子计算领域占据着关键地位。当 $N = 2^n$ 时，QFT 是一个 $n$ 量子比特的酉变换。它与经典傅里叶变换有着显著的区别：经典傅里叶变换是对写在纸上的向量 $v$ 进行操作，计算出向量 $\hat{v} = F_Nv$ 并将结果也写在纸上；而量子傅里叶变换则是作用于量子态，这些量子态是振幅向量，它们以叠加态的形式存在，并没有具体的书写形式。

QFT 可以通过一个使用 $O(n^2)$ 个基本门的量子电路来实现，这比经典的快速傅里叶变换（FFT）快了指数倍，FFT 需要 $O(N \log N) = O(2^n n)$ 步。但需要注意的是，计算 QFT 并不会像经典傅里叶变换那样将结果写在纸上，而是以最终量子态的振幅形式呈现。

2. 高效量子电路实现

为了实现 $n$ 量子比特的 QFT，我们允许使用的基本门包括哈达玛门（Hadamards）和受控 - $R_s$ 门，其中：
$R_s = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & e^{2\pi i/2^s} \end{pmatrix}$
特别地，$R_1 = Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$，$R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & i \end{pmatrix}$。当 $s$ 很大时，$e^{2\pi i/2^s}$ 接近 1，因此 $R_s$ 门接近单位门 $I$。为了简化，我们将每个 $R_s$ 门都视为基本门