数据结构-红黑树

红黑树是一种2-3查找树的一种简洁实现。本文从2-3查找树的概念开始，逐步介绍红黑树的实现原理。

从2-3树开始

2-3树运行每个节点保存1个或者两个的值。对于普通的2节点(2-node)，他保存1个key和左右两个自己点。对应3节点(3-node)，保存两个Key。

2-3查找树的定义如下：

1、要么为空，要么：

2、是一个2节点，该节点保存一个key及对应value，以及两个指向左右节点的节点。

3、对于3节点，该节点保存两个key及对应value，以及三个指向左中右的节点。

2-3 树的查找

2-3树的插入

往一个2-node节点插入

首先要进行查找，然后将节点挂到未找到的节点上。

如果查找后未找到的节点是一个2-node节点，那么很容易，我们只需要将新的元素放到这个2-node节点里面使其变成一个3-node节点即可。

 往一个3-node节点插入

1、只包含一个3-node节点。

暂时使其变成一个4-node节点，然后，我们将这个4-node节点的中间元素提升，左边的节点作为其左节点，右边的元素作为其右节点。

插入完成，变为平衡2-3查找树，树的高度从0变为1。

 2、节点是3-node，父节点是2-node

同理，临时的4-node节点提升，此时高度加一，再使原父节点和提升后的节点合并成3-node 节点，高度减一。

 3、节点是3-node，父节点也是3-node

节点临时的4-node节点提升，此时高度加一，再使临时4-node节点的父节点的父节点和提升后的节点合并成一个新节点，高度减一。重复操作，直到新节点是一个2-3节点。

        总结：

        4-node节点拆分成2-3node涉及的操作有6种：

                在root；

                在2-node 节点的左右；

                在3-node 节点的左中右；

对于4-node节点变形为2-3节点，变形前后树的高度没有发生变化。只有当跟节点是4-node节点，变形后树的高度才加一。如下图所示：（6中4-node 变形的可能情况）

 红黑树

首先，红黑树和avl树都是自平衡树，但是定义不同，表现有所区别。AVL树要求它的左子树和右子树的深度之差(平衡因子)的绝对值不超过1，红黑树要求所有的黑色连接是一个完全平衡的二叉树。

“ 红黑树的主要是想对2-3查找树进行编码，以约定的编码形式使用2-node 节点表示3-nodes，从而实现2-3 查找树。”这样做使2-3节点的实现在2节点的树中完成。

红黑树是一种具有红色和黑色链接的平衡查找树，同时满足：

• 红色节点向左倾斜 （减少3-nodes节点的类型）
• 一个节点不可能有两个红色链接 （两个红色节点对应为4-nodes 节点；特别的，为了满足此规定，对红黑树变色，这也是红黑树中唯一触发变色的条件）
• 整个树完全黑色平衡，即从根节点到所以叶子结点的路径上，黑色链接的个数都相同。（为一个平衡的2-3 树）

实现

原理：按照2-3 树的逻辑，从一个root开始，逐步添加所有的节点，这是生成树的基本步骤。可以假设每次添加前，树都是“平衡的”，加入一个node时，2-3树平衡化保证树的维持平衡（2node 变成 3-node 高度不变；3-node变为 4-node，变形后高度加一，将head向上归并，最后高度不变或最终root拆分，整颗树高度加一）

定义：

1、在二叉查找树的每一个节点上增加一个新的表示颜色的标记。该标记指示该节点指向其父节点的颜色。

2、新插入的节点使用红色链接。并约定红色节点向左倾斜。

3、左旋，右旋，和颜色转换如下图：（ H 表示触发动作的节点位置。该图表示以红色节点向左倾斜为前提的所有操作。）

在左转和右转的过程中，链接颜色不变。唯一触发改变颜色的条件是出现4-node 节点，即为出现两个子节点为红色节点。