欧几里得算法求两个正整数的最大公因子

最新推荐文章于 2024-07-11 20:01:38 发布

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#欧几里得算法 #Eulid算法 #最大公因子

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本文介绍了Euclid算法，一种高效求解两个正整数最大公因子的方法。基于定理gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，通过迭代或递归方式实现。提供了Java语言的非递归与递归版本代码。

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Euclid算法(即欧几里得算法)是求两个正整数的最大公因子的算法。

我们用gcd(a, b)表示a和b的最大公因子。则

gcd(a, b) = max[k, 其中k | a 且k | b]

因为我们所求的最大公因子是正数，所以gcd(a, b) = gcd(a, -b) = gcd(-a, b) = gcd(-a,-b)。一般来说，gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)。

Euclid算法基于以下的定理：

对于任意非负整数a和任意正整数b，有：

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0) (1)

定理证明：

假设d = gcd(a, b)，根据gcd的定义，则有d|a, d|b成立。对于任意正整数a, b可以表示成如下形式：

a = kb + r≡ r mod b

amod b = r 其中k,r为整数。

因此，对某个整数k，有(a mod b) = a – kb。

Euclid算法通过重复使用公式(1)来求最大公因子。算法中假设a > b > 0。因为gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|),所以仅考虑正整数的情况即可。

算法过程如下：

1、A←a, B←b

2、若B = 0,则返回A=gcd(a, b)

3、R = A modB

4、A←B

5、B←R

6、转到2

以下Java实现Euclid算法的非递归版和递归版代码：

public class Euclid {
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println("No recursive gcd = " + gcd(1970, 1066));
		gcdR(1970, 1066);
		System.out.println("Recursive gcd = " + gcdR(1970, 1066));
	}
	// 非递归版
	private static int gcd(int a, int b){
		if(b == 0){
			return a;
		}
		int r;
		while(b != 0){
			r = a % b;
			a = b;
			b = r;
		}
		return a;
	}
	// 递归版
	private static int gcdR(int a, int b){
		if(b == 0){
			return a;
		}
		return gcdR(b, a % b);
	}
}