UVa 10398 The Golden Pentagon

题目描述

平面上可以用一系列边长按几何级数增长的等边三角形铺满，这些三角形满足一个多项式特征方程。 三角形的边框宽度可忽略不计，且这些三角形按大小排列构成了不同尺寸的五边形。

图中三角形按顺序编号为 $1,2,3,\dots$ 。 本题的任务是：

1. 如果第 $I$ 个三角形的边长小于 $10^9$ ，则输出其向下取整的整数边长 $L$ 。
2. 如果第 $I$ 个三角形的边长大于等于 $10^9$ ，则输出 $L$ 在十进制下的位数 $D$ 。

输入格式 ： 输入包含 $N$ （ $N\le 7300$ ）行，每行包含一个浮点数 $S$ （ $0\le S\le 10000$ ）表示第一个三角形的边长，和一个整数 $I$ （ $1\le I<10^8$ ）。 输入以文件结束符终止。

输出格式 ： 对每行输入，输出一行。 如果 $L<10^9$ ，输出 $L$ （向下取整整数）； 否则输出 $D$ （ $L$ 的十进制位数）。

题目分析

关键信息提取

1. 几何级数增长 ： 三角形的边长按等比数列增长，设增长比例为 $a$ 。
2. 多项式特征方程 ： 从几何关系可得方程 $a^5-a^4-1=0$ 。
3. 大数处理 ： 当 $I$ 很大时，边长可能超过 $10^9$ ，此时只需输出位数。
4. 向下取整 ： 题目要求输出 $\lfloor L\rfloor$ ，即 floor 函数的结果。

数学建模

设第一个三角形的边长为 $S$ ，第 $I$ 个三角形的边长为：
$$L=S\cdot a^{I-1}$$
其中 $a$ 是方程 $a^5-a^4-1=0$ 的正实数根。

1. 求解增长比例 $a$

方程 $a^5-a^4-1=0$ 可改写为 $a^5=a^4+1$ ，这表明 $a$ 是一个介于 $1$ 和 $2$ 之间的实数。 我们可以使用牛顿迭代法求解：

牛顿迭代公式：
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$
其中 $f(x)=x^5-x^4-1$ ， $f^{\prime }(x)=5x^4-4x^3$ 。

取初始值 $x_0=1.5$ ，迭代至收敛即可得到 $a\approx 1.324717957244746$ 。

实际上， $a$ 就是著名的“塑胶数”（$\text{Plastic Number}$） ，是方程 $x^3-x-1=0$ 的根。 验证一下：
$$a^5-a^4=(a^3-a-1)\cdot (a^2+a+1)+1$$
由于 $a^3-a-1=0$ ，所以 $a^5-a^4=1$ ，满足原方程。

2. 计算策略

• 当 $I=1$ 时， $L=S$ ，直接取整即可。
• 当 $I>1$ 时，需要计算 $L=S\cdot a^{I-1}$ 。
  • 如果直接计算 $a^{I-1}$ ，当 $I$ 很大时（可达 $10^8$ ），会导致浮点数溢出。
  • 因此采用对数计算： 设 ${\log }_{10}L={\log }_{10}S+(I-1)\cdot {\log }_{10}a$ 。
  • 如果 ${\log }_{10}L<9$ ，则 $L<10^9$ ，计算 $L=10^{{\log }_{10}L}$ 并取整。
  • 如果 ${\log }_{10}L\ge 9$ ，则 $L\ge 10^9$ ，输出位数 $D=\lfloor {\log }_{10}L\rfloor +1$ 。

3. 精度考虑

由于 $I$ 很大，对数计算的精度足够。 使用 double 类型（约 15 位有效数字）可以满足题目要求。 牛顿迭代时设置收敛精度为 $10^{-12}$ 。

算法步骤

1. 预处理 ： 用牛顿法计算 $a$ 和 ${\log }_{10}a$ 。
2. 处理每组输入 ：
   • 如果 $I=1$ ，直接处理 $S$ 。
   • 否则计算 ${\log }_{10}L={\log }_{10}S+(I-1)\cdot {\log }_{10}a$ 。
   • 如果 ${\log }_{10}L<9$ ，计算 $L=S\cdot a^{I-1}$ 并输出 $\lfloor L\rfloor$ 。
   • 否则输出 $D=\lfloor {\log }_{10}L\rfloor +1$ 。

代码实现

// The Golden Pentagon
// UVa ID: 10398
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-12-07
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 使用牛顿法求解方程 a^5 - a^4 - 1 = 0 的正实数根
double findGrowthRatio() {
    double a = 1.5;  // 初始猜测值
    double epsilon = 1e-12;
    for (int iter = 0; iter < 100; iter++) {
        double f = pow(a, 5) - pow(a, 4) - 1;
        double df = 5 * pow(a, 4) - 4 * pow(a, 3);
        double newA = a - f / df;
        if (fabs(newA - a) < epsilon) break;
        a = newA;
    }
    return a;
}

int main() {
    // 预先计算增长比例
    double a = findGrowthRatio();
    double log10A = log10(a);
    
    double s;
    int i;
    while (scanf("%lf %d", &s, &i) == 2) {
        if (i == 1) {
            // 第一个三角形
            long long len = (long long)floor(s);
            if (len < 1000000000) printf("%lld\n", len);
            else {
                int digits = (int)floor(log10(len)) + 1;
                printf("%d\n", digits);
            }
        } else {
            // 计算 log10(L) = log10(S) + (I-1)*log10(a)
            double log10L = log10(s) + (i - 1) * log10A;
            
            if (log10L < 9.0) {  // 10^9 = 1e9
                // 直接计算 L
                double L = s * pow(a, i - 1);
                long long len = (long long)floor(L);
                printf("%lld\n", len);
            } else {
                // 计算位数 D = floor(log10L) + 1
                int digits = (int)floor(log10L) + 1;
                printf("%d\n", digits);
            }
        }
    }
    return 0;
}

复杂度分析

• 预处理 ： 牛顿迭代常数次（约 $10-20$ 次），时间复杂度 $O(1)$ 。
• 每次查询 ： 仅进行常数次浮点数运算，时间复杂度 $O(1)$ 。
• 总复杂度 ： $O(N)$ ，其中 $N\le 7300$ ，完全可行。

总结

本题的关键在于：

1. 识别几何关系 ，得到方程 $a^5-a^4-1=0$ 。
2. 使用牛顿法求解 增长比例 $a$ ，得到塑胶数。
3. 采用对数计算 避免大数溢出，同时满足精度要求。
4. 注意边界情况 ，如 $I=1$ 和 $L\ge 10^9$ 时的特殊处理。

通过数学建模和数值计算，可以在常数时间内处理每个查询，高效解决问题。