UVa 10844 Bloques

题目分析

问题描述

小 $\text{Joan}$ 有 $N$ 个不同大小的积木，要在海滩上建造城市。一个城市就是一组建筑物的集合，其中：

• 单个积木放在沙子上可以视为一个建筑物
• 可以通过在积木上放置其他积木来建造更高的建筑物
• 每个积木上方最多只能直接放置一个积木
• 不允许将较大的积木放在较小的积木上（堆叠必须从上到下递减）
• 建筑物之间的顺序无关紧要

我们需要计算使用 $N$ 个积木可以建造的不同城市的数量，记为 $\#(N)$。

问题转化

经过分析，这个问题可以转化为经典的集合划分问题：

• 每个建筑物对应一个堆叠（或单个积木），堆叠中积木的大小必须从上到下递减
• 这等价于每个建筑物是一个递减序列
• 城市就是对这些积木的一个划分，且划分中块的顺序无关
• 因此，$\#(N)$ 实际上就是第 $N$ 个贝尔数（$\text{Bell Number}$）

贝尔数 $B_n$ 表示 $n$ 个元素的集合的划分数。例如：

• $B_2=2$（对应题目中的 $2$ 种城市配置）
• $B_3=5$
• $B_4=15$

解题思路

贝尔数的计算

贝尔数可以通过贝尔三角形来高效计算：

递推关系：

• 初始化：$B(0,0)=1$
• 对于 $n\ge 1$：
  • $B(n,0)=B(n-1,n-1)$
  • $B(n,k)=B(n,k-1)+B(n-1,k-1)$，其中 $1\le k\le n$
• 贝尔数 $B_n=B(n,0)$

大数处理

由于贝尔数增长极快（$B_{900}$ 是一个巨大的数字），我们需要使用大整数运算。为了优化内存和计算效率，我们采用：

1. $10000$ 进制表示：每个 int 存储 $0$ 到 $9999$ 的数字
2. 自定义大数加法：实现基于 $10000$ 进制的加法运算
3. 动态规划存储：使用三维数组存储贝尔三角形的所有值

算法步骤

1. 预计算所有 $n\le 900$ 的贝尔数
2. 使用贝尔三角形递推关系
3. 对于每个输入 $n$，直接输出预计算的结果
4. 使用格式化输出确保数字正确显示

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N^2\times L)$，其中 $N=900$，$L$ 是大数的平均长度
• 空间复杂度：$O(N^2\times L)$，需要存储贝尔三角形的所有值

代码实现

// Bloques
// UVa ID: 10844
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-25
// UVa Run Time: 0.600s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int BASE = 10000;

vector<int> add(const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
    vector<int> res;
    int carry = 0;
    size_t len = max(a.size(), b.size());
    for (size_t i = 0; i < len || carry; i++) {
        if (i < a.size()) carry += a[i];
        if (i < b.size()) carry += b[i];
        res.push_back(carry % BASE);
        carry /= BASE;
    }
    return res;
}

void printBigInt(const vector<int>& num) {
    cout << num.back();
    for (int i = num.size() - 2; i >= 0; i--) {
        cout << setw(4) << setfill('0') << num[i];
    }
}

int main() {
    const int MAX_N = 900;
    vector<vector<vector<int>>> bell(MAX_N + 1);
    
    // 初始化贝尔三角形
    bell[0].resize(1);
    bell[0][0] = {1};
    
    // 使用贝尔三角形递推计算所有贝尔数
    for (int n = 1; n <= MAX_N; n++) {
        bell[n].resize(n + 1);
        // B(n,0) = B(n-1,n-1)
        bell[n][0] = bell[n - 1][n - 1];
        // B(n,k) = B(n,k-1) + B(n-1,k-1)
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            bell[n][k] = add(bell[n][k - 1], bell[n - 1][k - 1]);
        }
    }
    
    // 处理输入输出
    int n;
    while (cin >> n && n != 0) {
        cout << n << ", ";
        printBigInt(bell[n][0]);
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}

总结

本题的关键在于将积木城市的构建问题转化为贝尔数的计算问题。通过使用贝尔三角形和高效的大数运算，我们能够在合理的时间和空间内计算出 $n\le 900$ 的所有贝尔数。这种组合数学与算法优化的结合，展示了数学建模在解决实际问题中的重要性。