UVa 11535 Set of Marbles

原创于 2025-11-25 09:50:14 发布 · 929 阅读

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#算法 #c++ #青少年编程

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题目描述

你有 $n$ 个不同颜色的弹珠，这些弹珠分布在两个盒子中。每次操作中，你可以将一个弹珠从一个盒子移动到另一个盒子。你需要通过移动弹珠，使得第一个盒子依次包含所有可能的弹珠组合，每个组合恰好出现一次。总共有 $2^n$ 种弹珠组合。

例如，当 $n = 4$ 时，如果盒子 $1$ 初始包含弹珠 $1$ 和 $3$ ，盒子 $2$ 包含弹珠 $2$ 和 $4$ ，那么需要找到一个移动序列，使得盒子 $1$ 依次遍历所有 $16$ 种可能的子集。

输入格式

输入包含多个测试用例。第一行是 $T$ ( $\leq T \leq 20$ )，表示测试用例的数量。每个测试用例包含两行：

第一行： $n$ ( $\leq n \leq 10$ ) 和 $b_1$ ( $\leq b_1 \leq n$ )
第二行： $b_1$ 个整数，表示盒子 $1$ 中弹珠的编号（在 $1$ 到 $n$ 之间，且互不相同）

输出格式

对于每个测试用例，输出 $2^n$ 行：

前 $2^n - 1$ 行：移动操作，格式为 Move x from B1 to B2 或 Move x from B2 to B1
最后一行：空行

题目分析

问题本质

这个问题要求我们找到一个移动序列，使得盒子 $1$ 的状态依次遍历所有 $2^n$ 个可能的子集，且相邻两个状态之间只能相差一个元素（即每次只能移动一个弹珠）。

这实际上是在寻找一个哈密顿路径（ $Path\texttt{Hamiltonian Path}$ ）问题，在超立方体图（ $Graph\texttt{Hypercube Graph}$ ）上从给定起点出发，访问所有顶点且每个顶点只访问一次。在超立方体图中，顶点表示子集，边连接那些相差一个元素的子集。

关键观察

状态表示：可以用位掩码来表示盒子 $1$ 的状态，第 $i$ 位为 $1$ 表示弹珠 $i + 1$ 在盒子 $1$ 中。
相邻状态：每次只能移动一个弹珠，意味着相邻状态的海明距离（ $Distance\texttt{Hamming Distance}$ ）必须为 $1$ 。
路径存在性：对于超立方体图，从任意顶点出发都存在哈密顿路径，因此问题总是有解。

解题思路

我们可以使用回溯法来构造从初始状态出发的哈密顿路径：

初始化：读取初始状态，用位掩码表示。
路径搜索：从初始状态开始，尝试所有可能的单步移动（即翻转一个位），如果新状态未被访问过，则加入路径。
回溯：如果当前路径无法访问所有状态，则回溯到上一个状态尝试其他移动。
输出结果：找到完整路径后，根据相邻状态的差异输出移动操作。

算法复杂度

状态总数： $2^n$ ，其中 $\leq 10$ ，最多 $1024$ 个状态。
每个状态最多尝试 $n$ 种可能的移动。
总时间复杂度： $\times 2^n)$ ，在 $\leq 10$ 时完全可行。

代码实现

// Set of Marbles
// UVa ID: 11535
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-25
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void solve() {
    int n, b1;
    cin >> n >> b1;
    vector<int> initial(b1);
    for (int i = 0; i < b1; i++) cin >> initial[i];
    
    int startState = 0;
    for (int x : initial) startState |= (1 << (x - 1));
    
    int total = 1 << n;
    vector<int> visited(total, 0);
    vector<int> sequence;
    sequence.push_back(startState);
    visited[startState] = 1;
    
    while (sequence.size() < total) {
        int current = sequence.back();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int next = current ^ (1 << i);
            if (!visited[next]) {
                sequence.push_back(next);
                visited[next] = 1;
                break;
            }
        }
    }
    
    for (int i = 0; i < total - 1; i++) {
        int changed = sequence[i] ^ sequence[i + 1];
        int marble = __builtin_ffs(changed);
        if (sequence[i] & changed)
            cout << "Move " << marble << " from B1 to B2\n";
        else
            cout << "Move " << marble << " from B2 to B1\n";
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}

代码解释

核心函数 `solve()`

读取输入：
- 读取弹珠数量 $n$ 和盒子 $1$ 的初始弹珠数 $b_1$
- 读取盒子 $1$ 中的弹珠编号
初始化状态：
- 使用位掩码 startState 表示初始状态
- 第 $i$ 位为 $1$ 表示弹珠 $i + 1$ 在盒子 $1$ 中
生成路径：
- 使用 visited 数组记录已访问的状态
- 使用 sequence 向量存储状态序列
- 从初始状态开始，每次尝试翻转一个位来生成新状态
输出移动序列：
- 遍历相邻状态，找出变化的位（弹珠）
- 根据变化方向输出移动操作
- 使用 __builtin_ffs 函数快速找到最低有效位的位置