UVa 1452 Jump

原创已于 2025-11-26 15:08:53 修改 · 900 阅读

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#算法 #c++ #青少年编程

于 2025-11-25 11:19:45 首次发布

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题目描述

整数 $\ldots, n$ 按递增顺序放置在一个圆圈上。从数字 $1$ 开始，我们不断绕圈，每次挑选第 $k$ 个数字，并将其送入序列队列，直到圆圈上的所有数字都被取完。这个线性排列的队列称为 $Jump(n,k)\texttt{Jump}(n, k)$ 序列，其中 $\leq n, k$ 。

例如， $Jump(10,2)\texttt{Jump}(10, 2)$ 序列的计算过程如下：

前 $5$ 个被挑选的数字是 $2, 4, 6, 8, 10$
然后是 $3, 7, 1, 9$ 和 $5$
所以得到 $Jump(10,2)=[2,4,6,8,10,3,7,1,9,5]\texttt{Jump}(10, 2) = [2,4,6,8,10,3,7,1,9,5]$

我们需要编写一个程序，对于给定的 $n$ 和 $k$ ，输出 $Jump(n,k)\texttt{Jump}(n, k)$ 序列的最后三个数字。

输入格式：

第一行包含测试用例数 $T$
每个测试用例包含两个整数 $n$ 和 $k$ ，其中 $\leq n \leq 500,000$ 且 $\leq k \leq 500,000$

输出格式：

对于每个测试用例，输出倒数第三个、倒数第二个和倒数第一个数字

题目分析

这是一个经典的约瑟夫问题（ $Problem\texttt{Josephus Problem}$ ）的变种。在标准的约瑟夫问题中，我们通常只关心最后一个幸存者，而本题需要找到整个移除序列中的最后三个被移除的数字。

问题特点

循环移除： $n$ 个人围成一圈，从第 $1$ 个人开始报数，数到第 $k$ 个人时将其移除，然后从下一个人继续报数
记录序列：需要记录整个移除过程的顺序，而不仅仅是最后一个幸存者
大规模数据： $n$ 和 $k$ 的最大值都是 $500, 000$ ，需要高效的算法

关键观察

对于约瑟夫问题，我们可以使用递推公式来高效计算：

设 $f (n, k)$ 表示 $n$ 个人、步长为 $k$ 时最后一个幸存者的位置（从 $0$ 计数），则有递推关系：
$f (1, k) = 0$
$\bmod n$

这个公式的含义是：当有 $n$ 个人时，第一个被移除的人是位置 $\bmod n$ ，然后问题转化为 $n - 1$ 个人的情况，只是起始位置发生了变化。

解题思路

核心算法

为了找到最后三个被移除的数字，我们可以利用约瑟夫问题的递推性质：

最后一个被移除的：就是标准的约瑟夫问题的解，即第 $n$ 个被移除的人
倒数第二个被移除的：相当于在 $n - 1$ 个人的情况下，最后一个被移除的人
倒数第三个被移除的：相当于在 $n - 2$ 个人的情况下，最后一个被移除的人

更一般地，第 $m$ 个被移除的人可以通过以下方法计算：

从 $n - m + 1$ 个人开始模拟
逐步增加到 $n$ 个人
每次使用递推公式更新位置

算法步骤

对于每个测试用例 $(n, k)$ ：

计算倒数第三个被移除的：
- 从 $n - 2$ 个人开始（因为我们要找倒数第三个，相当于在移除 $2$ 个人后的最后一个）
- 逐步模拟到 $n$ 个人
计算倒数第二个被移除的：
- 从 $n - 1$ 个人开始（移除 $1$ 个人后的最后一个）
- 逐步模拟到 $n$ 个人
计算最后一个被移除的：
- 从 $1$ 个人开始（标准的约瑟夫问题）
- 逐步模拟到 $n$ 个人

时间复杂度

每个数字的计算需要 $O (n)$ 时间
由于我们需要计算三个数字，总时间复杂度为 $O (3 n) = O (n)$
对于 $\leq 500,000$ ，这个复杂度是可以接受的

空间复杂度

只使用了常数级别的额外空间： $O (1)$

代码实现

// Jump
// UVa ID: 1452
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-25
// UVa Run Time: 0.110s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 找到第m个被移除的元素（m=1表示第一个被移除的）
int findMthRemoved(int n, int k, int m) {
    // 使用递推公式计算
    int pos = (k - 1) % (n - m + 1);
    for (int i = n - m + 2; i <= n; i++) {
        pos = (pos + k) % i;
    }
    return pos + 1;
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int testCases;
    cin >> testCases;
    
    while (testCases--) {
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        
        // 最后三个被移除的元素分别是第n个、第n-1个、第n-2个被移除的
        int last = findMthRemoved(n, k, n);        // 最后一个被移除的
        int secondLast = findMthRemoved(n, k, n - 1);  // 倒数第二个被移除的
        int thirdLast = findMthRemoved(n, k, n - 2);   // 倒数第三个被移除的
        
        cout << thirdLast << " " << secondLast << " " << last << "\n";
    }
    
    return 0;
}