UVa 1555 Garland

题目描述

新年花环由 $N$ 盏灯组成，这些灯固定在一根公共电线上，电线两端下垂，最外层的灯固定在两端。电线在灯的重量下以特定方式下垂：每盏灯的高度比相邻两灯高度的平均值低 $1$ 毫米。

最左边的灯悬挂在离地面 $A$ 毫米的高度。你需要确定最右边灯的最低高度 $B$，使得花环中没有一盏灯接触地面（但允许某些灯刚好接触地面）。

将灯从 $1$ 到 $N$ 编号，并用 $H_i$ 表示第 $i$ 盏灯的高度（毫米），我们得到以下方程：

• $H_1=A$
• $H_i=(H_{i-1}+H_{i+1})/2-1$，对所有 $1<i<N$
• $H_N=B$
• $H_i\ge 0$，对所有 $1\le i\le N$

图中所示的 $8$ 盏灯的花环样例中，$A=15$，$B=9.75$。

输入格式
输入文件包含多个数据集。每个数据集一行，两个数字 $N$ 和 $A$，用空格分隔。$N$（$3\le N\le 1000$）是整数，表示花环中灯的数量；$A$（$10\le A\le 1000$）是实数，表示最左边灯离地面的高度（毫米）。

输出格式
对于每个数据集，输出一个实数 $B$，精确到小数点后两位，表示最右边灯的最低可能高度。

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题目分析

物理模型与数学推导

题目给出的关键条件是：

$$H_i=\frac{H_{i-1}+H_{i+1}}{2}-1$$

将其整理为：

$$H_{i+1}-2H_i+H_{i-1}=2$$

这实际上是一个二阶差分方程，对应的连续形式是二阶微分方程：

$$\frac{d^{2}H}{d{x}^2}=2$$

解这个微分方程，得到：

$$H(x)=x^2+C_{1}x+C_2$$

这是一个开口向上的抛物线，符合电线在重力作用下自然下垂的物理直觉：电线中间部分下垂得更低，两端较高。

离散化与边界条件

将灯的位置离散化为 $x=1,2,\dots ,N$，我们有：

• $H(1)=1^2+C_1\cdot 1+C_2=A$
• $H(N)=N^2+C_1\cdot N+C_2=B$

解这个方程组：

从第一个方程得：
$$C_1+C_2=A-1$$

从第二个方程得：
$$N^2+C_{1}N+C_2=B$$

将 $C_2=A-1-C_1$ 代入第二个方程：
$$N^2+C_{1}N+(A-1-C_1)=B$$
$$C_1(N-1)=B-A-(N^2-1)$$
$$C_1=\frac{B-A-(N^2-1)}{N-1}$$
$$C_2=A-1-C_1$$

因此，任意灯 $i$ 的高度为：
$$H(i)=i^2+C_1\cdot i+C_2$$

问题转化为二分搜索

我们需要找到最小的 $B$，使得对于所有 $i=1,2,\dots ,N$，都有 $H(i)\ge 0$。

由于 $H(i)$ 是开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点附近。我们可以使用二分搜索来寻找满足条件的 $B$：

• 下界：$0$（右端灯可以很低）
• 上界：一个足够大的值（如 $10^{10}$）

对于每个候选的 $B$：

1. 计算 $C_1$ 和 $C_2$
2. 检查所有 $H(i)$ 是否都 $\ge 0$
3. 如果满足条件，说明 $B$ 可能还可以更小；否则需要增大 $B$

通过二分法，我们可以在对数时间内找到满足条件的最小 $B$。

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算法步骤

1. 读取输入 $N$ 和 $A$
2. 初始化二分搜索的左右边界
3. 进行 $100$ 次二分迭代（确保精度）
4. 对于每个候选 $B$：
   • 计算系数 $C_1$ 和 $C_2$
   • 检查所有灯的高度是否非负
5. 输出最终找到的最小 $B$，保留两位小数

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复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N\log M)$，其中 $M$ 是二分搜索的区间大小，$N$ 是灯的数量
• 空间复杂度：$O(1)$

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代码实现

// Garland
// UVa ID: 1555
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-22
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
double A;

// 检查给定的B是否满足所有灯的高度都不低于地面
bool check(double B) {
    double C1 = (B - A - (n * n - 1)) / (n - 1);
    double C2 = A - 1 - C1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        double hi = i * i + C1 * i + C2;
        if (hi < 0) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    // 处理多个测试用例
    while (cin >> n >> A) {
        // 二分搜索寻找最小的B
        double left = 0, right = 1e10;
        for (int iter = 0; iter < 100; iter++) {
            double mid = (left + right) / 2;
            if (check(mid)) right = mid;
            else left = mid;
        }
        // 输出结果，保留两位小数
        printf("%.2f\n", right);
    }
    return 0;
}

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总结

本题的关键在于将物理问题转化为数学模型：

1. 通过差分方程识别出抛物线模型
2. 利用边界条件建立方程组
3. 使用二分搜索找到最优解

这种"物理直觉 + 数学建模 + 算法优化"的解题思路在很多编程竞赛题目中都非常常见。