UVa 10689 Yet Another Number Sequence

题目

定义如下的序列：
$$f(0)=a$$ $$f(1)=b$$ $$f(n)=f(n-1)+f(n-2),n>1$$
如果 $a=0$，$b=1$，则序列为斐波那契序列（Fibonacci Sequence），如果 $a$ 和 $b$ 为其他值，则可以得到其他的序列。你的任务是在给定 $a$ 和 $b$ 的值之后，确定 $f(n)$ 的最后 $m$ 位数字。

数据约束：$a，b\in [1，100]；n\in [1，1000000000]；m\in [1，4]$。

样例输入

4
0 1 11 3
0 1 42 4
0 1 22 4
0 1 21 4

样例输出

89
4296
7711
946

分析

要顺利解决此题，需要斐波那契数的矩阵表示、矩阵快速幂的前置知识，如果读者对此不熟悉，可以参考我博客中的文章：第6章 组合数学：6.7.1 斐波那契数。在此文章中，介绍了斐波那契数的相关性质，包括其矩阵表示、矩阵快速幂、斐波那契进制。

考虑到 $n$ 的值很大，使用暴力算法不可行。有了前置知识后，可以考虑使用矩阵快速幂在 $O(logn)$ 的时间复杂度内确定 $f(n)$ 的值。不过由于本题并不是求 $f(n)$ 的精确值，只需求 $f(n)$ 的最末 $m$ 位数字，那么考虑在矩阵运算中使用模运算即可。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct matrix
{
    long long cell[2][2];
    matrix(long long a = 0, long long b = 0, long long c = 0, long long d = 0)
    {
        cell[0][0] = a, cell[0][1] = b, cell[1][0] = c, cell[1][1] = d;
    }
} one(1, 1, 1, 0);

int mod;

matrix multiply(const matrix &a, const matrix &b)
{
    matrix r;
    for (int i = 0; i < 2; i++)
        for (int j = 0; j < 2; j++)
            r.cell[i][j] = (a.cell[i][0] * b.cell[0][j] + a.cell[i][1] * b.cell[1][j]) % mod;
    return r;
}

matrix matrixPow(long long k)
{
    if (k == 1) return one;
    matrix r = matrixPow(k >> 1);
    r = multiply(r, r);
    if (k & 1) r = multiply(r, one);
    return r;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);

    int cases, a, b, n, m;
    cin >> cases;
    while (cases--)
    {
        cin >> a >> b >> n >> m;
        mod = pow(10, m);
        if (n == 0) cout << a % mod << '\n';
        else if (n == 1) cout << b % mod << '\n';
        else
        {
            matrix r = matrixPow(n - 1);
            cout << (r.cell[0][0] * b + r.cell[0][1] * a) % mod << '\n';
        }
    }

    return 0;
}