UVa 11288 Carpool

题目大意：给定 $n$ 个人，按照至多每 $5$ 个人一个小组的方法，分成若干小组，要求分成的小组组数尽可能地少。对于每一个小组来说，需要从起点出发，经过该小组中每个人的“兴趣点”（家或者超市），最终到达终点。定义第 $j$ 个小组从起点到终点且经过每个小组成员的“兴趣点”至少一次的旅程所花费的时间等同于所经过的路径的长度 $d_j$，那么对于某种分组方法 $i$ 来说，此种分组方法所需要的总时间为各个小组所花费时间的最大值 $t_i$，即

t i = max ⁡ { d 1 , d 2 , … , d j } t_i=\max\{d_1,d_2,\dots,d_j\} ti​=max{d1​,d2​,…,dj​}

现在需要确定 $t_i$ 的最小值。

显然，需要枚举所有可能的分组方式来确定最小值。由于 $n$ 最大为 $15$，可知最多分为 $3$ 组。对于每一个小组，需要解决的问题为旅行商问题，可以使用动态规划算法（具体读者可以参考我编写的书或者在网络上搜索相关的资料）。

确定任意两点间的最短距离可以使用 $\text{Floyd-Warshall}$ 算法。

此处给出参考实现。

// Carpool
// UVa ID: 11288
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2024-11-06
// UVa Run Time: 0.020s
//
// 版权所有（C）2024，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, dist[20][20];
int group, cost, cnt[8], mask[8];
int dp[16][1 << 17];

int dfs2(int u, int bit) {
    if (~dp[u][bit]) return dp[u][bit];
    if (!bit) return dist[u][n + 1];
    int tmp = INF;
    for (int v = 1; v <= n; v++)
        if (bit & (1 << v))
            tmp = min(tmp, dist[u][v] + 5 + dfs2(v, bit ^ (1 << v))); 
    return dp[u][bit] = tmp;
}

void dfs1(int idx) {
    if (idx == n + 1) {
        int tmp = 0;
        for (int i = 1; i <= group; i++)
            tmp = max(tmp, dfs2(0, mask[i]));
        cost = min(cost, tmp);
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= group; i++)
        if (cnt[i] < 5) {
            cnt[i]++;
            mask[i] |= (1 << idx);
            dfs1(idx + 1);
            cnt[i]--;
            mask[i] ^= (1 << idx);
        }    
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
    while (cin >> n >> m) {
        memset(dist, INF, sizeof dist);
        for (int i = 0; i <= n + 1; i++) dist[i][i] = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int u, v, w;
            cin >> u >> v >> w;
            dist[u][v] = dist[v][u] = min(dist[u][v], w);
        }
        for (int k = 0; k <= n + 1; k++)
            for (int i = 0; i <= n + 1; i++)
                for (int j = 0; j <= n + 1; j++)
                    dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);
        cost = INF;
        memset(dp, 0xff, sizeof dp);
        group = n / 5 + (n % 5 ? 1 : 0);
        for (int i = 1; i <= group; i++) cnt[i] = mask[i] = 0;
        dfs1(1);
        cout << cost << '\n';
    }
    return 0;
}