Hdu 5593 ZYB's Tree【树型Dp】经典题

ZYB's Tree

 

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问题描述

$ZYB$有一颗$N$个节点的树,现在他希望你对于每一个点,求出离每个点距离不超过$K$的点的个数.

两个点$(x,y)$在树上的距离定义为两个点树上最短路径经过的边数,

为了节约读入和输出的时间,我们采用如下方式进行读入输出:

读入:读入两个数$A,B$,令fa_ifa​i​​为节点$i$的父亲,fa_1=0fa​1​​=0;fa_i=(A*i+B)\%(i-1)+1fa​i​​=(A∗i+B)%(i−1)+1 $i\in [2,N]$ .

输出:输出时只需输出$N$个点的答案的$xor$和即可。

输入描述

第一行一个整数$T$表示数据组数。

接下来每组数据：

 一行四个正整数$N,K,A,B$.

 最终数据中只有两组$N\ge 100000$。

$1\le T\le 5$,$1\le N\le 500000$,$1\le K\le 10$,$1\le A,B\le 1000000$

输出描述

$T$行每行一个整数表示答案.

输入样例

1
3 1 1 1

输出样例

3

思路：

观察到K的范围不大，那么我们考虑对每个点进行Dp计数。

这类Dp基本上都是，分两个方向去Dp。很套路。

①设定Dp【i】【j】表示以点i为根的子树中，到点i距离为j的点的个数。那么不难写出有：Dp【i】【j】+=Dp【son【i】】【j-1】；

②再设定F【i】【j】表示以点i为中心，非子树方向，到点i距离为j的点的个数，其实这部分的转移也很好想，除了根方向以外的部分，都要转移过来即可。

那么只有两种可能，一种是从父亲节点转移过来：F【i】【j】+=F【fa】【j-1】；

另一种可能就是从兄弟节点转移过来：F【i】【j】+=Dp【brother】【j-2】；

很显然直接去转移兄弟节点会TLE掉，因为一个节点的兄弟节点会很多，那么每个兄弟节点都处理一次的话，任务量实在是太大了。所以我们优化一下，设定Sum【i】【j】表示ΣDp【son【i】】【j】；那么我们就可以优化最后一个转移方程为：F【i】【j】+=Sum【fa【i】】【j-2】-Dp【i】【j-2】；

过程维护统计一下即可。

#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<string.h>
using namespace std;
#define ll long long int
vector<int>mp[550000];
int dp[550000][12];
int sum[550000][12];
int F[550000][12];
int n,k,A,B;
void Dfs(int u,int from)
{
    for(int i=0; i<mp[u].size(); i++)
    {
        int v=mp[u][i];
        if(v==from)continue;
        Dfs(v,u);
        for(int j=1; j<=k; j++)
        {
            dp[u][j]+=dp[v][j-1];
        }
    }
    for(int i=0; i<mp[u].size(); i++)
    {
        int v=mp[u][i];
        if(v==from)continue;
        for(int j=0; j<=k; j++)
        {
            sum[u][j]+=dp[v][j];
        }
    }
}
void dfs(int u,int from)
{
    if(from!=-1)for(int j=1; j<=k; j++)F[u][j]+=F[from][j-1];
    for(int j=2; j<=k; j++)
    {
        if(j-2>=0&&from!=-1)
        {
            F[u][j]+=sum[from][j-2]-dp[u][j-2];
        }
    }
    for(int i=0; i<mp[u].size(); i++)
    {
        int v=mp[u][i];
        if(v==from)continue;
        dfs(v,u);
    }
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(F,0,sizeof(F));
        scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&A,&B);
        for(int i=1; i<=n; i++)mp[i].clear();
        for(int i=2; i<=n; i++)
        {
            ll fa=(ll)((ll)A*(ll)i+B)%(ll)(i-1)+1;
            mp[i].push_back(fa);
            mp[fa].push_back(i);
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)dp[i][0]=1,F[i][0]=1;
        Dfs(1,-1);
        dfs(1,-1);
        int ans=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            int sum=0;
            for(int j=0; j<=k; j++)
            {
                sum+=F[i][j]+dp[i][j];
            }
            ans^=(sum-1);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}