51nod 1358 浮波那契【思维+矩阵快速幂】好题！

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本文介绍了一种计算特殊浮点型斐波那契数列（浮波那契数列）的方法，通过矩阵快速幂算法高效求解大规模数值问题，并提供了一段AC代码作为实现案例。

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1358 浮波那契

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题

TengBieBie已经学习了很多关于斐波那切数列的性质，所以他感到一些些厌烦。现在他遇到了一个新的数列，这个数列叫做Float-Bonacci。这里有一个关于Float-Bonacci的定义。

对于一个具体的n，TengBieBie想要快速计算FB(n).

但是TengBieBie对FB的了解非常少，所以他向你求助。

你的任务是计算FB(n).FB(n)可能非常大，请输出FB(n)%1,000,000,007 (1e9+7)即可。

Input

输入共一行，在一行中给出一个整数n (1<=n<=1,000,000,000)。

Output

对于每一个n，在一行中输出FB(n)%1,000,000,007 (1e9+7)。

Input示例

Output示例

思路：

1、首先我们考虑斐波那契函数：f(n)=f(n-1)+f(n-2)如果我们给括号内元素增大10倍会怎样呢？

F（10n）=F（10n-10）+F（10n-20）；如果我们此时设定f【10】=1；f【20】=2；一样可以得到斐波那契数列，只不过，如果需要查询f【3】的时候，是要找f【30】内的元素。

那么同理，这个题也可以进行如此操作，主要是为了搞定括号内带有小数这个问题。

那么就有：

2、那么考虑到N比较大，那么肯定是要矩阵快速幂来解决这个问题的，那么我们接下来构造矩阵：

？？？中填入的就是矩阵构造出来的结果：

其能够满足递推式、

3、那么结果是多少呢？

我们不妨设定为：

我们显然知道F（0~40）=1；

那么ans=得到的矩阵的n-4次幂的第一行的和。

Ac代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll __int64
#define mod 1000000007
typedef struct Matrix
{
    ll mat[36][36];
}matrix;
Matrix A,B;
Matrix matrix_mul(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    int i,j,k;
    for(int i=0;i<34;i++)
    {
        for(int j=0;j<34;j++)
        {
            for(int k=0;k<34;k++)
            {
                c.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
                c.mat[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
Matrix matrix_quick_power(matrix a,ll k)//矩阵快速幂0.0
{
    matrix b;
    memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));
    for(int i=0;i<34;i++)
    b.mat[i][i]=1;//单位矩阵b
    while(k)
    {
        if(k%2==1)
        {
            b=matrix_mul(a,b);
            k-=1;
        }
        else
        {
            a=matrix_mul(a,a);
            k/=2;
        }
    }
    return b;
}
int main()
{
    ll n;
    while(~scanf("%I64d",&n))
    {
        if(n<=4)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        int tmp1=0;
        int tmp2=24;
        memset(A.mat,0,sizeof(A.mat));
        for(int i=0;i<10;i++)
        {
            for(int j=0;j<34;j++)
            {
                if(j==tmp1||j==tmp2)A.mat[i][j]=1;
                else A.mat[i][j]=0;
            }
            tmp1++;
            tmp2++;
        }
        for(int i=10;i<34;i++)
        {
            A.mat[i][i-10]=1;
        }
        ll output=0;
        B=matrix_quick_power(A,n-4);
        for(int i=0;i<34;i++)
        {
            output=(output+B.mat[0][i])%mod;
        }
        printf("%I64d\n",output);
    }
}