hdu 5534 Partial Tree【完全背包】

Partial Tree

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others)
Total Submission(s): 864    Accepted Submission(s): 437

Problem Description

In mathematics, and more specifically in graph theory, a tree is an undirected graph in which any two nodes are connected by exactly one path. In other words, any connected graph without simple cycles is a tree.
You find a partial tree on the way home. This tree has n nodes but lacks of n−1 edges. You want to complete this tree by adding n−1 edges. There must be exactly one path between any two nodes after adding. As you know, there are nn−2 ways to complete this tree, and you want to make the completed tree as cool as possible. The coolness of a tree is the sum of coolness of its nodes. The coolness of a node is f(d), where f is a predefined function and d is the degree of this node. What's the maximum coolness of the completed tree?

Input

The first line contains an integer T indicating the total number of test cases.
Each test case starts with an integer n in one line,
then one line with n−1 integers f(1),f(2),…,f(n−1).

1≤T≤2015
2≤n≤2015
0≤f(i)≤10000
There are at most 10 test cases with n>100.

Output

For each test case, please output the maximum coolness of the completed tree in one line.

Sample Input

2

3

2 1

4

5 1 4

Sample Output

5

19

Source

2015ACM/ICPC亚洲区长春站-重现赛（感谢东北师大）

题目大意：

给你n个节点，对于每个节点都引入一个度的概念，对于每一种度数的点，对应都有一个价值：f（di（di表示点的度数））=X对应的价值，比如f（1）=2：表示度为1的这种节点，价值为2.然后给你n-1条边，让你使得这n个节点形成一颗树，问这棵树的最大价值和。

思路：

1、首先，对于一颗树来讲，有n个节点，就一定有2*n-2的度数和，对于问题的转化：有2*n-2容量的一个背包，有价值为X的体积为di的物品，每个物品可以拿多次，但是所有物品放在一起只能而且必须拿n个，而且必须凑成体积为2*n-2，问在这种情况下，最大能拿多少价值的物品。

2、这样，问题就转化到了一个二维限制背包上来，然后代码实现需要：O（n*n*(n*2-2)*T）的时间复杂度，显然会TLE,需要优化算法............（接下来的思路来源自各位巨巨的题解）

3、如果能够将一个二维限制背包问题从3层for优化下去，我们只能从新考虑这个问题，在代码上优化算法有点不太可能。

4、那么考虑这样一个问题：一颗树，一个点的最小度数是多少：显然是1.那么思路如果确定到这条路上来，那么就距离Ac不远了：将每个点，我都分配一个度数。然后问题就转化到了：n-2个度数，分配到n个点上。那么这个时候，我们就将二维限制背包问题，转化成一个完全背包问题上来：n-2的容积，n-2个物品，每个物品的体积为i-1，价值为

f【i】-a【1】。

5、思维确立到了这里，整个思路也就确立完成了，剩下的就是跑一遍完全背包了；

Ac代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[25000];
int dp[25000];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        int ans=a[1]*n;
        int v=n-2;
        for(int i=2;i<n;i++)
        {
            a[i]-=a[1];
        }
        memset(dp,-0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
        dp[0]=0;
        for(int i=2;i<n;i++)
        {
            for(int j=i-1;j<=v;j++)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-i+1]+a[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",ans+dp[v]);
    }
}