hdu 1028/哈理工OJ2004 Ignatius and the Princess III【完全背包】【dp】

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本篇介绍了一个经典的动态规划问题——公主问题III，旨在寻找正整数N的不同加法组合方式。通过详细解析样例输入输出，提供了一种使用完全背包问题的解决思路。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Ignatius and the Princess III

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 16735 Accepted Submission(s): 11776

Problem Description

"Well, it seems the first problem is too easy. I will let you know how foolish you are later." feng5166 says.

"The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
  N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
  a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"

Input

The input contains several test cases. Each test case contains a positive integer N(1<=N<=120) which is mentioned above. The input is terminated by the end of file.

Output

For each test case, you have to output a line contains an integer P which indicate the different equations you have found.

Sample Input

4
10
20

Sample Output

5
42
627

这是一个动态规划问题，可以用母函数来解，但是小白不太懂母函数，这里给出完全背包的解法。

首先我们知道，1的划分方法只有一种：1.

2的划分方法有两种：2，1 1。

3的划分方法有3种：3 ，2 1,1 1，

4的划分方法有5种：4， 3 1，2 2，2 1 1 ，1 1 1 1 。

依次类推：

我们这里给出6的划分方法拿其举例：

6: 6; 5+1; 4+2; 4+1+1; 3+3; 3+2+1; 3+1+1+1; 2+2+2; 2+2+1+1; 2+1+1+1+1; 1+1+1+1+1+1.

首先我们知道，我们有六种拆分方法。

拆1的时候只能拆出一种方案：1+1+1+1+1+1.

当拆2的时候能够拆出三种方案：2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1.同时也相当于2+4，并且把4拆分成2，并且再全部拆分成1，2+2，2+1+1，1+1+1+1.因为这里4>2,所以不能保留2+4的情况，否则之后要有重复的问题。

当拆成3的时候能够拆出3种方案：3+3,3+2+1,3+1+1+1.同时也相当于3+3，并且把3拆分成2，并且全部拆分成1：3，2+1,1+1+1.

当拆成4的时候能够拆出两种方案：4+2,4+1+1，同时也相当于4+2，并且把2拆分：2,1+1；

当拆成5的时候能够拆出一种方案：5+1.

还有一种自己：6.

如果真的去推的话，是能够推出这样的动态方程的：dp【j】=dp【j】+dp【j-i】

AC代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int dp[150];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=i;j<=n;j++)
            {
                dp[j]+=dp[j-i];
            }
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
}