数据结构——选择排序

简单选择排序

算法原理

1. 第$i$趟，从所有元素中选择关键字最小的元素与$A[i]$交换
2. 每趟排序可以确定一个元素的最终位置，通过$n-1$趟排序后整个序列有序

代码实现

void SelectSort(int A[], int n){
	int i, j, min, k;
	for(i=1; i<n; i++){
		min = i;
		for(j=i+1; j<=n; j++)
			if(A[j] < A[min])
				min = j;
		if(min != i){
			k = A[i];
			A[i] = A[min];
			A[min] = k;
		}
	}
}

举例

性能分析

• 空间效率：只使用常数个辅助单元，空间复杂度为$O(1)$
• 时间效率：最好情况下，不需要交换元素；最坏情况下，交换$3(n-1)$次。比较的次数是固定的，为$\frac{n(n-1)}{2}$次，时间复杂度为$O(n^2)$
• 稳定性：不稳定

堆排序

算法原理

• 堆的定义：n个关键字序列A[1…n]称为堆，当且仅当序列满足
  $$A[i]>=A[2i]且A[i]>=A[2i+1]或\text{\hspace{1em}(1)}$$
  $$A[i]<=A[2i]且A[i]<=A[2i+1](1<=i<=\lfloor n/2\rfloor )\text{\hspace{1em}(2)}$$
• 可以将堆视为一棵完全二叉树，满足$(1)$的堆称为大根堆（大顶堆），满足$(2)$的称为小根堆（小顶堆）
• 算法步骤（以大顶堆为例）
  1. 将n个元素的序列建成初始堆，输出堆顶元素
  2. 将堆底元素送入堆顶，从根开始向下调整，使其保持堆的性质，再输出堆顶元素
  3. 重复2，直到堆中仅剩下一个元素为止
• 堆的调整
  1. 对第$\lfloor n/2\rfloor$个结点为根的子树进行筛选（若根结点的关键字小于左右孩子中关键字较大者，则交换），使子树变成堆
  2. 向前依次对各个结点（$\lfloor n/2\rfloor -1\sim 1$）为根的子树进行筛选，由于交换会破坏下一级的堆，于是继续筛选，构造下一级的堆，直到以该结点为根的子树变成堆为止。
  3. 重复第2步建堆，直到根结点

代码实现

void HeapAdjust(int A[], int k, int len){
	int i;
	A[0] = A[k];
	for(i=2*k; i<=len; i*=2){
		if(i<len && A[i]<A[i+1])
			i++;					// 孩子结点中关键字较大结点的下标
		if(A[0] > A[i])				// 若父结点的关键字大，不需要调整
			break;
		else{						// 父结点与较大孩子结点交换
			A[k] = A[i];
			k = i;					// 修改k值，向下调整堆
		}
	}
	A[k] = A[0];					// 被调整结点放入最终位置
}

void HeapSort(int A[], int len){
	int k;
	for(int i=len/2; i>0; i--)		// 初始化堆
		HeapAdjust(A, i, len);
	for(int i=len; i>1; i--){		// 交换堆顶元素到最终结果位置，并调整堆
		k = A[i];
		A[i] = A[1];
		A[1] = k;
		HeapAdjust(A, 1, i-1);
	}
}

举例

性能分析

• 空间效率：仅使用了常数个辅助单元，空间复杂度为$O(1)$
• 时间效率：建堆的时间为$O(n)$，然后进行$n-1$次调整，每次调整的时间复杂度为$O(h)$，故在最好、最坏、平均情况下，堆排序的时间复杂度为$O(n{\log }_{2}n)$
• 稳定性：不稳定