【镜头景深与超焦距】

参数

焦距：$f$
对焦距离（物距）：$u$
F数（f-number）：$F$
弥散圆直径：$\delta$
光阑直径：$D=f/F$

透镜成像

透镜成像公式：$$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$$像距：$$v=\frac{fu}{u-f}$$

景深

根据三角形相似，可得像距为$v$、弥散圆为$\delta$时，清晰成像的两个像距表示为：$$\begin{gathered} v_1=\frac{Dv}{D-\delta } \\ {v}_2=\frac{Dv}{D+\delta } \end{gathered}$$对应物距为：$$\begin{gathered} u_1=\frac{f{v}_1}{v_1-f} \\ {u}_2=\frac{f{v}_2}{v_2-f} \end{gathered}$$前景深：$$\Delta L_1=u-u_1=\frac{F\delta u(u-f)}{f^2+F\delta (u-f)}$$后景深：$$\Delta L_2=u_2-u=\frac{F\delta u(u-f)}{f^2-F\delta (u-f)}$$景深(depth of field)：$$\text{DOF}=\Delta L_1+\Delta L_2=\frac{2f^{2}F\delta u(u-f)}{f^4-F^2{\delta }^2(u-f{)}^2}$$

超焦距

当后景深为无穷大时，$u_1$距离后的点都可被清晰成像，此时的对焦距离$u$称为超焦距（Hyperfocal distance）：
$$\begin{gathered} \Delta L_2=\frac{F\delta u(u-f)}{f^2-F\delta (u-f)}=\infty \\ \Downarrow \\ {f}^2=F\delta (u-f) \\ \Downarrow \\ u=\frac{f^2}{F\delta }+f \end{gathered}$$