逻辑回归 from 吴恩达的机器学习

分类问题

逻辑回归算法

性质：它的输出值永远在0到 1 之间。

实质：分类算法，适用于标签y值取值离散的情况。

假说表示

根据线性回归模型我们只能预测连续的值，然而对于分类问题，我们需要输出0或1，我们可以预测：

当时，预测y = 1；

当 时，预测y= 0；

逻辑回归假设模型

其中

：对于给定的输入变量，根据选择的参数计算输出变量=1的可能性

函数图像如下图：

取值在（0，1）之间，更贴合于分类问题。

例:

如果对于给定的x，通过已经确定的参数计算得出，则表示有70%的几率y为正向类，相应地y为负向类的几率为1-0.7=0.3。

判定边界

根据上面绘制出的 S 形函数图像，我们知道当

判定边界:分隔y=0 与 y=1的分界线，由假设模型确定

例子：

参数是向量[-3 1 1]。 则当 ，即时，模型将预测  y=1。 我们可以绘制直线，这条线便是我们模型的分界线，将预测为1的区域和预测为 0的区域分隔开。

代价函数

逻辑回归的代价函数为

其中

与 之间的关系如下图所示

当实际的y=1且 也为h(x)=1时误差为 0，当y=1但h(x)不为1时误差随着h(x)变小而变大；当实际的y=0且 也h(x)为0 时代价为 0，当y=0但h(x)不为0时误差随着h(x)的变大而变大。

构建的cost简化

带入代价函数，得到逻辑回归代价函数为：

更新参数规则

向量化表示：

优化算法

计算参数更优化的算法：

共轭梯度（Conjugate Gradient），局部优化法(Broyden fletcher goldfarbshann,BFGS)和有限内存局部优化法(LBFGS) 

使用library库即可使用这些算法

octave使用优化算法示例：

首先定义代价函数及每个参数的求导

function [jVal, gradient] = costFunction(theta)
  jVal = [...code to compute J(theta)...];
  gradient = [...code to compute derivative of J(theta)...];
end

使用fminunc()计算参数 使用optimset设置优化参数

options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 100);
initialTheta = zeros(2,1);
   [optTheta, functionVal, exitFlag] = fminunc(@costFunction, initialTheta, options);

多类别分类：一对多

将多个类中的一个类标记为正向类（y=1），然后将其他所有类都标记为负向类，这个模型记作 。接着，类似地第我们选择另一个类标记为正向类（y=2），再将其它类都标记为负向类，将这个模型记作 ,依此类推。

最后我们得到一系列的模型简记为： 其中：i=(1,2,3...k)

在需要做预测时，我们将所有的分类机都运行一遍，然后对每一个输入变量，选择最高可能性的输出变量。