17、递归编程中的分治法应用

递归编程中的分治法应用

在算法领域，分治法是一种强大的策略，它将一个复杂的问题分解为多个相似的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。本文将介绍分治法在矩阵乘法、Tromino 平铺问题和天际线问题中的应用。

1. 矩阵乘法算法

传统的矩阵乘法算法在处理大规模矩阵时效率较低，其时间复杂度为 $O(n^3)$。为了提高效率，Strassen 提出了一种新的矩阵乘法算法。

1.1 传统算法分析

传统的矩阵乘法算法在基本情况中，最昂贵的算术运算是标量乘法，需要进行 $pqr$ 次这样的乘法。假设输入矩阵是 $n×n$ 的，其运行时间可以用以下函数表示：
[
T(n) =
\begin{cases}
1 & \text{if } n \leq 1 \
8T(n/2) + 4\Theta(n^2) & \text{if } n > 1
\end{cases}
]
根据主定理，$T(n) \in \Theta(n^{\log_2 8}) = \Theta(n^3)$。

1.2 Strassen 算法

Strassen 算法通过减少矩阵乘法的次数来降低时间复杂度。该算法将每个输入矩阵分解为四个块矩阵，即：
[
\begin{bmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} \
A_{2,1} & A_{2,2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
B_{1,1} & B_{