6、递归思维方法与递归算法运行时分析

递归思维方法与递归算法运行时分析

1. 递归思维方法

1.1 递归案例分析

以计算前 n 个正整数的和 S(n) 为例，其递归关系为 (S(n) = 2S(\frac{n}{2}) + (\frac{n}{2})^2)。通过将问题分解为两个规模为原问题一半的子问题，可得到如下关系：
| 输入 | 结果 |
| — | — |
| (n) | (1 + 2 + \cdots + (\frac{n}{2}) + (\frac{n}{2} + 1) + \cdots + n = S(n)) |
| (\frac{n}{2}) | (1 + 2 + \cdots + (\frac{n}{2}) = S(\frac{n}{2})) |

可以看出，(S(n)) 可通过将 (S(\frac{n}{2})) 的结果乘以 2 再加上 ((\frac{n}{2})^2) 得到。这种将问题分解为子问题的方式，有助于我们利用子问题的解来求解原问题。

1.2 具体实例分析

在某些问题中，描述递归方法的结果可能较为复杂。例如，计算非负整数 n 的各位数字之和的问题。若选择将数字的位数减少一位的分解方式（去掉最低位），其结果可以用公式 (\sum_{i = 0}^{\lfloor\log_{10} n\rfloor}[(n // 10^i) \% 10]) 表示，但通过具体实例分析更为直观。

以下是具体实例：
| 输入 | 结果 |
| — | — |
| (n = 5342) | (14 + 2) |
| (n // 10 = 534) | (12) |