概率论与数理统计：正态分布相关推论及推导（更新ing）

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已于 2022-11-24 17:23:20 修改 · 1.8k 阅读

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#概率论

于 2022-11-24 17:17:25 首次发布

本文探讨了正态总体的抽样分布，重点在于统计量X的正态分布性质及其期望和方差。同时，证明了样本方差S2乘以(n-1)/σ^2服从卡方分布。对于更严谨的证明，可以参考提供的链接。

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一个正态总体的抽样分布

统计量： $X‾=1n∑i=1nXi，其中Xi~N(μ,σ2)\overline{X}= \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_{i}，其中X_{i}\text{\textasciitilde} N(\mu,{\sigma^{2}} )$ $S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2S^2= \cfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_{i}-\overline{X})^2$ 推论·：

$X‾~N(μ,σ2n)证明：X‾=1n∑i=1nXi~N(1n∑i=1nμ,∑i=1nσ2n2)=N(μ,σ2n)\overline{X} \text{\textasciitilde} N(\mu,\cfrac{\sigma^{2}}{n})\\ \begin{aligned} 证明： \overline{X}&= \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_{i} \\& \text{\textasciitilde} N( \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mu, \sum_{i=1}^n\cfrac{\sigma^{2}}{n^2})\\ &=N(\mu,\cfrac{\sigma^{2}}{n})\end{aligned}$