数据结构：对基于比较的排序，在最坏情况下的最少比较次数推导证明

meaxx

于 2022-11-21 18:40:02 发布

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文章标签：数据结构算法排序算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/maxxxml/article/details/127969813

本文探讨了基于比较的排序算法中，最坏情况下的比较次数下限问题，并通过决策树模型进行了证明。结论指出，当待排序元素总数为n时，最少比较次数m满足m≥lg(n!)。

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结论

设m为最少比较次数，n为待排序元素总数。
$m \geq l g (n!)$

对基于比较的排序，所有比较操作可被抽象为一棵决策树。决策树的叶节点代表排序完成后元素序列，共有 n! 种可能。此决策树为完全二叉树。
显然，最坏情况下比较次数为决策树的高h-1，设为m，且对于一棵完全二叉树，叶子结点个数最多为 $2^{h-1}=2^m$ ，又决策树叶子结点的个数不能少于排序完成后可能的元素序列个数，即n!，则有: $n!≤2^{m}→m≥lg(n!)（两边取lg）$
注：插图及证明思想来自《算法导论》（机械工业出版社）P108。