数据结构:对基于比较的排序,在最坏情况下的最少比较次数推导证明

本文探讨了基于比较的排序算法中,最坏情况下的比较次数下限问题,并通过决策树模型进行了证明。结论指出,当待排序元素总数为n时,最少比较次数m满足m≥lg(n!)。

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结论

设m为最少比较次数,n为待排序元素总数。
m≥lg(n!)m≥lg(n!)mlg(n!)

证明

  1. 对基于比较的排序,所有比较操作可被抽象为一棵决策树。决策树的叶节点代表排序完成后元素序列,共有 n! 种可能。此决策树为完全二叉树
    决策树
  2. 显然,最坏情况下比较次数为决策树的高h-1,设为m,且对于一棵完全二叉树,叶子结点个数最多为2h−1=2m2^{h-1}=2^m2h1=2m,又决策树叶子结点的个数不能少于排序完成后可能的元素序列个数,即n!,则有:n!≤2m→m≥lg(n!)(两边取lg)n!≤2^{m}→m≥lg(n!)(两边取lg)n!2mmlg(n!)lg
    注:插图及证明思想来自《算法导论》(机械工业出版社)P108。
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