PAT备考之 关键路径 专题

虽然到目前为止，关键路径没有考过，但是近年之前没考过的拓扑排序和Floyd算法都有考，故稍微了解准备一下关键路径。

在关键路径之前，有个最长路径的求法，在没有正环的图中，边权全部取相反数，使用Bellman-Ford算法即可。

而对于关键路径问题（有向无环图），除了动态规划的解法，比较常规的是使用拓扑排序。

具体过程：在拓扑排序的基础之上，进行一次正向拓扑和一次逆向拓扑，用ve[]数组和vl[]数组来更新每个事件最早和最晚的时间。

我还是按照自己习惯使用结构体数组和邻接矩阵记录点与点，还有边的情况。

在主函数中直接使用criticalpath（）即可输出关键路径并返回关键路径长度；

函数代码（没写主函数）：

struct node{
	int inD=0;
	vector<int> next;
}Node[maxN];	//存储每个事件的入度和连接的下一个事件，在主函数中记录 
int G[maxN][maxN];	//存储两点间边权 在主函数中记录 
vector<int> tporder;
int ve[maxN]={0},vl[maxN];
int N;	//结点数（事件个数） 在主函数中记录
int num=0;
bool tpsort(){    //拓扑排序
	queque<int> q;
	for(int i=0;i<N;i++){
		if(Node[i].inD==0) q.push(i);
	}
	while(!q.empty()){
		int top=q.front();
		tporder.push_back(top);
		q.pop();
		for(auto it:Node[top].next){
			Node[it].inD--;
			if(Node[it].inD==0) q.push(it);
			if(ve[top]+G[top][it]>ve[it]){
				ve[it]=ve[top]+G[top][it];
			}
		}
		num++;
	}
	if(num==N){
		return true;
	}else{
		return false;
	}
} 
int criticalpath(){
	if(tpsort()==false){
		return -1;
	}
	fill(vl,vl+N,ve[N-1]);
	//逆拓扑
	while(tporder.size()!=0){
		int u=tporder[tporder.size()-1];
		tporder.pop_back();
		for(auto it:Node[u].next){
			if(vl[it]-G[u][it]<vl[u]){
				vl[u]=vl[it]-G[u][it];
			}
		}
	} 
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(auto it:Node[i].next){
			if(ve[i]==vl[it]-G[i][it]){	//i到it为关键路径（即此边代表的活动的最早开始时间和最晚开始时间相同） 
				printf("%d -> %d\n",i,it);	//输出这段关键路径 
			}
		}
	}
	return ve[N-1]; //返回关键路径长度，即为终点的最早开始时间（也等于终点的最晚开始时间） 
}