图形图像处理技术【复习笔记】

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第三章 图像变换

图像变换的目的：

• ①使图像处理问题简化
• ②有利于图像特征提取
• ③有利于从概念上增强对图像信息的理解

图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：

• ①正交变换必须是可逆的；
• ②正变换和反变换的算法不能太复杂；
• ③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理

【1】傅里叶变换

1、理论基础
【线性系统】对于某特定系统，有：
x1(t)——>y1(t)
x2(t)——>y2(t)
该系统是线性的当且仅当：
x1(t) + x2(t)——>y1(t) + y2(t)
从而有： ——>a × x1(t) a × y1(t)
【线性系统移不变性】对于某线性系统，有：
x(t)——>y(t)
当输入信号沿时间轴平移T，有：
x(t - T)——>y(t - T)
则称该线性系统具有移不变性
2、卷积
【一维卷积定义】

【离散一维卷积】

【二维卷积定义】
【离散二维卷积】

3、连续与离散的傅里叶变换
【一维连续傅里叶变换】

【一维连续傅里叶逆变换】

【几个概念】
假设函数f(x)为实函数。但一个实函数的傅立叶变换可能为复函数：$F(u)=R(u)+jI(u)$

• f(x)的傅立叶模记为：$|F(u)|$
  $|F(u)|=[R^2(u)+I^2(u){]}^{\frac{1}{2}}$

• f(x)的傅立叶模平方记为：$|P(u)|$
  $|P(u)|=|F(u){|}^2=R^2(u)+I^2(u)$

• f(x)的傅立叶相位记为： $\varphi (u)$
  $\varphi (u)=\frac{I(u)/R(u)}{tan}$

• 傅立叶变换中的变量$u$通常称为频率变量
  这个名称源于尤拉公式中的指数项
  $exp[-j2\pi ux]=cos2\pi ux-jsin2\pi ux$

【二维连续傅里叶变换】

【离散傅里叶变换】
假设连续函数$f(x)$通过取N个$\Delta x$单位的采样点，被离散化为一个序列：
$f(x_0),f(x_0+\Delta x),...,f(x_0+(N-1)\Delta x)$
[表示相对与连续函数的任意N个统一的空间采样]
无论将x作为离散的或连续的变量，在子序列中来研究都将是方便的，仅仅依赖于讨论的上下文。为作到此要求定义：
$f(x)=f(x_0+x\Delta x)$

[离散傅里叶变换对]
（变换）
$F(u)=\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}f(x)exp(-2j\pi ux/N)$ u = 0,1,2,…,N-1
（逆变换）
$f(x)=\sum _{u=0}^{N-1}F(u)exp(2j\pi ux/N)$ u = 0,1,2,…,N-1
[离散傅里叶变换：二维]
（变换）
$F(u，v)=\frac{1}{MN}\sum _{x=0,y=0}^{M-1,N-1}f(x)exp(-2j\pi (ux/N+vy/N))$
u = 0,1,2,…,M-1;v = 0,1,2,…,N-1
（逆变换）
$f(x，y)=\sum _{x=0,y=0}^{M-1,N-1}f(x)exp(2j\pi (ux/M+vy/N))$
x = 0,1,2,…,M-1;y = 0,1,2,…,N-1

【离散傅里叶变换的计算与显示】
[离散傅里叶交换的计算举例]
①

②

[离散傅里叶交换的显示]

【2】频域变换：二维傅里叶变换特性

1、可分离性
二维离散傅立叶变换可分离性的基本思想是： 二维DFT可分离为两次一维DFT
应用：二维快速傅立叶算法FFT ，是通过计算两次一维FFT实现的
【可分离性定义】
$F(u，v)=\frac{1}{MN}\sum _{x=0,y=0}^{M-1,N-1}[\sum f(x,y)exp(-2j\pi vy/N)]exp(-2j\pi ux/M)$ u = 0,1,2,…,M-1;v = 0,1,2,…,N-1
$f(x，y)=\sum _{u=0,v=0}^{M-1,N-1}[\sum F(u，v)exp(2j\pi vy/N)]exp(2j\pi ux/M)$ u = 0,1,2,…,M-1;v = 0,1,2,…,N-1

2、平移性定理

【证明】
下式中蓝色部分=1


3、周期与共轭对称
【周期性】离散傅立叶变换DFT和它的逆变换是以N为周期的

【共轭对称性】傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数

4、旋转特性

• 如果f(x,y)旋转了一个角度$\alpha$ ，那么f(x,y)旋转后的图象的傅立叶变换也旋转了相同的角度$\alpha$
• 对图像的旋转变换和傅立叶变换的顺序是可交换的$F[R[f(x,y)]]\iff R[F[f(x,y)]]$

5、线性与相似性

【线性】：傅立叶变换是线性系统、函数和的傅立叶变换是可分离的

【相似性】

6、均值性
离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值

7、拉普拉斯

8、卷积与相关
！！！空域和频域之间的基本联系
【卷积】

【相关】

【3】频域变换：FFT

【基本思想】FFT算法基于一个叫做递推加倍的方法


通过一个实例来体会一下FFT算法：
设：有函数f(x)，其 N = 2³ = 8
有：{f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), f(7)}
计算：{F(0), F(1), F(2), F(3), F(4), F(5), F(6),F(7)}

• 首先分成奇偶两组：
  有：{ f(0), f(2), f(4), f(6) }
  { f(1), f(3), f(5), f(7) }

• 为了利用递推特性，再分成两组：
  有：{ f(0), f(4) }， { f(2), f(6) }
  { f(1), f(5) }， { f(3), f(7) }

【逆向FFT算法】用正向变换计算逆向变换


【几个关键的点】

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【4】Walsh和Hadamard交换

1、Walsh交换
【离散Walsh交换】

• 包括只有+1和-1两个数值；
• 完备正交基，计便于算机处理

【一维离散Walsh交换】

【二维离散Walsh交换】

【例题】

2、Hadamard交换

• Hadamard变换本质上是一种特殊排序的Walsh变换；
• Hadamard变换核矩阵是一个方阵，只包括+1和-1两个矩阵元素；
• Hadamard变换核矩阵的各行或各列之间彼此是正交的；
• Hadamard变换核矩阵与Walsh变换不同之处仅仅是行的次序不同；
• Hadamard变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以用二个低阶矩阵求得

【一维离散Hadamard交换】


【二维离散Hadamard交换】